积分yfxdx2xfxx2dy在右半平面x0内L与路径无关，其中fx可导，且满足f11，求fx．
解：由PQ，得fx2fx2xfx2x，yx
即fx1fx1，2x
所以
f
x


e

12x
dx


e
12x
dx
dx

C
1
x2
1
x2dx

C

1
x2
2
3
x2

C，
3
3分3分
f代入初始条件，解得C1，所以fx2x1．
3
33x
五、（6分）求函数fxyx3y33xy的极值．
2分
解：

ff
xy
xx
yy

3x23y2

3y3x

00
得驻点0011
3分
fxxxy6xfxyxy3fyyxy6y在点00处，B2AC90故f00非极值；
在点11处，B2AC270故f111是极小值．3分
六、（6分）试证：曲面zxfy上任一点处的切平面都过原点．
x
证：因zfyyfyzxfy1fy
xxxxy
xx
x
3分
则取任意点M0x0
y0z0，有z0

x0
f
y0x0
，得切平面方程为
z0

x0
f

y0x0



f

y0x0


y0x0
f

y0x0

x

x0


f

y0x0

y

y0

即fy0y0fy0xfy0yz0
x0x0x0
x0
故切平面过原点．
07A
3分
一、填空题（每小题3分，共21分）
1．设向量
a

231
b

15，已知
a
与b
垂直，则

1
2．设
a
3
b

2ab


，则
a
b

6
3
3．yoz坐标面上的曲线y2z21绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为a2b2
x2y2z2
1
a2
b2
fx2z10
4．过点
240
且与直线

y

3z

2

0
垂直的平面方程
2
x

3
y

z

8

0
5．二元函数zxl
xy的定义域为Dxyx0xy0
6．函数fxyzl
x2y2z2，则gradf101101
7．设zexy，则dz
exyydxxdy
8．设uxfxy，f具有连续偏导数，则u
x
x

9．曲线xtyt2zt3上点111处的切向量T
f

xf1

yx
f2
123
10．交换积分顺序：
1
0
d
y
y
0
f

x
ydx

1dx1
0
x
f
x
ydy
11．闭区域由曲面z2x2y2及平面z1所围成，将三重积分fxyzdv化为柱面

坐标系下的三次积分为
2d1rdr1
0
0
r
frcosrsi
zdz
12．设L为下半圆周y1x2，则Lx2y2ds

13．设L为取正向圆周x2y29，则L2xy2ydxx24xdy18
14．设周期函数在一个周期内的表达式为
f
x

0x
x0
则它的傅里叶级数在
0x
x处收敛于

2

15．若
lim

u


0，则级数u

1
的敛散性是
发散
2

16．级数
的敛散性是


1
收敛



17．设一般项级数u
，已知u
收敛，则u
的敛散性是

1

1

1
绝对收敛
18．微分方程xy2y35xy0是2阶微分方程
19．微分方程y4y4y0的通解y
Ce2xCxe2x
1
2
20．r