全球旧事资料 分类
线L1
x22

y45

z3
与直线
L2


y

1

3t
的夹角为
z27t
2

f4设是曲面z2x2y2及zx2y2所围成的区域积分,则fxyzdv化为柱面

2
1
2r2
坐标系下的三次积分形式是drdr
frcosrsi
zdz.
0
0
r
5设L是圆周y2xx2,取正向,则曲线积分ydxxdyL2.
6幂级数1
1x
的收敛半径R1.

1



7.设级数u

1
收敛,则
lim

u


0

8.设周期函数在一个周期内的表达式为
f
x

0x

x00x
则它的傅
里叶级数在x处收敛于.
2
9.全微分方程xdxydy0的通解为xyC.
10.写出微分方程yy2yex的特解的形式yaxex.
二、解答题(共42分每小题6分)
1.求过点
1
2
1
且垂直于直线
xx

y2
zy
20z30
的平面方程.

ij解:设所求平面的法向量为
,则
12
k
1123
111
4分
所求平面方程为x2y3z0
2分
2.函数zzxy由方程si
x2y3zx2y3z所确定,求z.x
解:令Fxyzsi
x2y3zx2y3z,
2分
则Fxcosx2y3z1Fz3cosx2y3z3.2分
fzFx1cosx2y3z.xFz33cosx2y3z
2分
3.计算xyd,其中D是由直线y1x2及yx所围成的闭区域.
D
2x
解法一:原式xydydx11
2分

2
x
1
y22
1x
dx

2x312
xdx2
解法二:
x48

x24
12
118

4分
原式
2
1
2
xydxdy

y2

y
y48
12
11同上类似分8
4.计算1x2y2dxdy,其中D是由x2y21即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区
D
域.解:选极坐标系
原式

2d
1
1r2rdr
0
0
3分
111r2d1r2
220
6
3分
5.计算y2z2dx2yzdyx2dz,其中是曲线xtyt2
zt3上由t10到t21的一段弧.
解:原式1t4t62t52tt23t2dt0
3分

13t6
0

2t4dt
3t77

25
t
5
10

135
6.判断级数

1
2
2


1
的敛散性.
解:
因为
limu
1
u


lim

2
12
1
2
12

11,2
3分
3分2分
f故该级数收敛.
1分
7.求微分方程y3y4y0满足初始条件yx00yx05的特解.
解:特征方程r23r40,特征根r14r21
通解为yC1e4xC2ex,
3分
y4C1e4xC2ex,代入初始条件得C11C21,
所以特解ye4xex.
3分
三、(8分)计算曲面积分xdydzydzdxzdxdy,其中是上半球面z1x2y2的上侧.
解:添加辅助曲面1z0x2y21,取下侧,则在由1和所围成的
空间闭区域上应用高斯公式得
xdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdy

1
xdydzydzdxzdxdy4分
1
3dv02分

3142.2分
23
四、(8分)设曲线r
好听全球资料 返回顶部