线L1
x22

y45

z3
与直线
L2


y

1

3t
的夹角为
z27t
2
．
f4设是曲面z2x2y2及zx2y2所围成的区域积分，则fxyzdv化为柱面

2
1
2r2
坐标系下的三次积分形式是drdr
frcosrsi
zdz．
0
0
r
5设L是圆周y2xx2，取正向，则曲线积分ydxxdyL2．
6幂级数1
1x
的收敛半径R1．

1



7．设级数u

1
收敛，则
lim

u


0
．
8．设周期函数在一个周期内的表达式为
f
x

0x

x00x
则它的傅
里叶级数在x处收敛于．
2
9．全微分方程xdxydy0的通解为xyC．
10．写出微分方程yy2yex的特解的形式yaxex．
二、解答题（共42分每小题６分）
1．求过点
1
2
1
且垂直于直线
xx

y2
zy
20z30
的平面方程．

ij解：设所求平面的法向量为
，则
12
k
1123
111
4分
所求平面方程为x2y3z0
2分
2．函数zzxy由方程si
x2y3zx2y3z所确定，求z．x
解：令Fxyzsi
x2y3zx2y3z，
2分
则Fxcosx2y3z1Fz3cosx2y3z3．2分
fzFx1cosx2y3z．xFz33cosx2y3z
2分
3．计算xyd，其中D是由直线y1x2及yx所围成的闭区域．
D
2x
解法一：原式xydydx11
2分

2
x
1
y22
1x
dx

2x312
xdx2
解法二：
x48

x24
12
118

4分
原式
2
1
2
xydxdy

y2

y
y48
12
11同上类似分8
4．计算1x2y2dxdy，其中D是由x2y21即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区
D
域．解：选极坐标系
原式

2d
1
1r2rdr
0
0
3分
111r2d1r2
220
6
3分
5．计算y2z2dx2yzdyx2dz，其中是曲线xtyt2
zt3上由t10到t21的一段弧．
解：原式1t4t62t52tt23t2dt0
3分

13t6
0

2t4dt
3t77

25
t
5
10

135
6．判断级数

1
2
2


1
的敛散性．
解：
因为
limu
1
u


lim

2
12
1
2
12

11，2
3分
3分2分
f故该级数收敛．
1分
7．求微分方程y3y4y0满足初始条件yx00yx05的特解．
解：特征方程r23r40，特征根r14r21
通解为yC1e4xC2ex，
3分
y4C1e4xC2ex，代入初始条件得C11C21，
所以特解ye4xex．
3分
三、（8分）计算曲面积分xdydzydzdxzdxdy，其中是上半球面z1x2y2的上侧．
解：添加辅助曲面1z0x2y21，取下侧，则在由1和所围成的
空间闭区域上应用高斯公式得
xdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdy

1
xdydzydzdxzdxdy4分
1
3dv02分

3142．2分
23
四、（8分）设曲线r