微分方程y3y2yxe2x的特解形式为xaxbe2x
二、（共5分）
f设zu2l
vuxvxy，求zz
y
xy
z
解：

z

u

z

v

2ul
v
1

u2

y

x2
2l
xy1
xuxvx
yv
y2
zzuzv2ul
vxu2xx22l
xy1
yuyvy
y2v
y3
三、（共5分）
设x2yz2xyz0，求zx
解：令Fxyzx2yz2xyz
xyzyz
xyzxy
Fx
xyzFz
xyz
z
Fx

yz
xyz
xFzxyzxy
四、（共5分）
计算xdxdydz，其中为三个坐标面及平面xyz1所围成的闭区域
解：0x10y1x0z1xy

xdxdydz
dx1
1x
0
0
dy1xy0
xdz
1dx1x
0
0
x1
x

ydy


11
02
x1
x2
dx

12
1
0

x

2x2

x3dx

124
五、（共6分）
计算Lexsi
yydxexcosy1dy，其中L为由点Aa0到点O00的上半圆周
x2y2ax
解：添加有向辅助线段OA则有向辅助线段OA和有向弧段OA围成闭区域记为D，根据格林
公式
Lexsi
yydxexcosy1dy
dxdyexsi
yydxexcosy1dy
D
OA
1a2022
f1a38
六、（共6分）
x3

求幂级数
的收敛域

3

1
解：对绝对值级数，用比值判敛法
limu
1limx3
1
u


13
1


x3

1

1
lim
x3x3

3

3
1
3
当1x31时，即0x6，原级数绝对收敛3
当1x31时，即x0或x6，原级数发散3
当
x


0时，根据莱布尼兹判别法，级数
1

收敛

1
当
x

6
时，级数


1
发散，故收敛域为06

1
七、（共5分）
计算z2dxdy，其中为球面x2y2z21在第一卦限的外侧
解：在xoy面的投影Dxy：x2y21x0y0
z2dxdy


Dxy
1
x2

y2dxdy


20
d
1
0
1

r2rdr

2

14

8
八、（共7分）
设f10，求fx使l
x1fxydxfxdy为某二元函数uxy的全微分，并求uxyx
解：由PQ，得l
x1fxfx，即fx1fxl
x
yx
x
x
所以
f
x

e1dxx

l

x
e1dxx

C

x
l

x

1dxx

C

x12
l
2
x

C
带入初始条件，解得C0所以fx1xl
2x2
fux
y

l
xy00
x

12
l
2
xydx

12
x
l
2
xdy

x00

y1
02
x
l
2
xdy

12
xyl
2
x
07高数B
一、（共60分每题3分）得分
1
设向量
a
6
2

4，b

1
2，已知
a
与b
平行则

3．
2
yoz
坐标面上的曲线
ya
22
z2c2

1
绕
z
轴旋转一周生成的旋转曲面方程为
x2
a2
y
2
z2b2
1．
3
设
a
2b

1
ab


则
ab

3．
3
4
设一平面经过点
1
1
1
，且与直线
x23y
yz

40

0
垂直，则此平面方程为
2x

y

3z

0
．
5二元函数zl
y22x1的定义域为xyy22x10．
6设zexy，则dzexyyr