，取下侧，则在由1和所围成的空间闭区域上应用
高斯公式得
xdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdy

1
xdydzydzdxzdxdy
1
4分
3dv0

6分
3142．23
7分
五、（6分）在半径为R的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．
解：设三角形各边所对圆心角分别为xyz，则xyz2，
且面积为A1R2si
xsi
ysi
z，2
令Fsi
xsi
ysi
zxyz2
3分
fFxcosx0
由
Fycosy0
Fz

cos
z



0
xyz2
4分得xyz2．此3
时，其边长为23R3R．由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三2
角形时其面积最大．
6分

六、（8分）求级数
x
的收敛域，并求其和函数．

1

解：Rlima
lim
11，故收敛半径为R1．
a
1

当x1时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛；当x1时，级数为调和级数，发散．
故原级数的收敛域为11．
设和为Sx，即Sxx
，求导得
1

Sxx
1
1
，

1
1x
再积分得
S

x

x
0
S

xd
x

x1
01
dxx


l
1

x
，
1

x

1
七、（5分）设函数fx在正实轴上连续，且等式
xy
x
y
1ftdty1ftdtx1ftdt
对任何x0y0成立．如果f13，求fx．
2分5分6分8分
解：等式两边对y求偏导得
x
xfxy1ftdtxfy
上式对任何x0y0仍成立．令y1，且因f13，故有
2分
xf
x

x
1
f
tdt

3x
．
由于上式右边可导，所以左边也可导．两边求导，得
3分
fxfxfxfx3即fx3x
x0．
故通解为fx3l
xC．当x1时，f13，故C3．
因此所求的函数为fx3l
x1．
5分
八．（5分）已知y1xexe2x，y2xexex，y3xexe2xex
是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．
解1：由线性微分方程解的结构定理知e2x与ex是对应齐次方程的两个线性无
关的解，xex是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为
yy2yfx
将yxex代入上式，得fxex2xex，因此所求的微分方程为yy2yex2xex
解2：由线性微分方程解的结构定理知e2x与ex是对应齐次方程的两个线性无关的解，xex是非齐次方程的一个特解，故yxexC1e2xC2ex是所
求微分方程的通解，从而有
yexxex2C1e2xC2ex，y2exxex4C1e2xC2ex消去C1C2，得所求的微分方程为
yy2yex2xex
06高数B
一、填空题（共30分每小题3分）
1．xoy坐标面上的双曲线4x29y236绕x轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为
4x29y2z236．
2．设函数fxyz2xyzz2，则gradf101212．
x3t
3．直r