向量范数定义及常用范数

范数（最大范数）：x

max1i

xi


1范数：x1
xi
i1
1
2范数：x
2



i1
x
2i
2
1
p范数：x
p


Ni1
xi
pP
1
P
6
f2、矩阵范数定义及常用范数



范数（行范数）：A

max1i

j1
aij


1范数（列范数）：A
max
11j

i1
aij
2范数：A2
max
ATA
1
F
范数：A
F

ij1
a
2ij
2
其中maxATA表示半正定矩阵ATA的最大特征值，矩阵的前三种范数分别与向量的前三种范数相
容3、条件数
条件数是线性方程组Axb的解对b中的误差或不确定度的敏感性的度量。数学定义为矩阵A的条
件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积，即co
dAAA1的逆‖，对应矩阵的3种范
数，相应地可以定义3种条件数。条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感性。对于线性方程组Axb，如果A的条件数大，b的微小改变就能引起解x较大的改变，数值稳定性差。如果A的条件数小，b有微小的改变，x的改变也很微小，数值稳定性好。它也可以表示b不变，而A有微小改变时，x的变化情况。所以当cou
d（A）1时，方程组Axb是病态的，否则称为良态4、条件数的性质：
1、对任何非奇异矩阵A，都有co
dAv1由定义co
dAv
A1v
Av
A1Av
I
1
2、设A为非奇异矩阵且c（0常数），则co
dcAvco
dAv
3、如果A为正交矩阵，则co
dA2＝1；如果A为非奇异矩阵，R为正交矩阵则co
dRA2co
dAR2co
dA2

1

12
11
例：Hilbert阵
H




2
3


11
1
1





1


1
1
2
1
cou
d（H
）
2
27
co
d（H
）
3

748
co
dH629106
7
co
dH

f第六章解线性方程组的迭代法
一、迭代法：xk1B0xkf
迭代法收敛的两种判断方法：
1、若A是
矩阵，且满足aiiaijji格对角占优矩阵）。
aiiaij（i12…
），则称A为对角占优矩阵（严ji

2、（非常重要）谱半径小于1收敛即：
A

max
1i

i
1
（谱半径越小，收敛速度越快）
3、收敛性判别条件：1SOR迭代法收敛的必要条件：SOR迭代收敛，则0〈W〈2。2SOR迭代法收敛的充要条件：A为对称正定矩阵且0〈W〈2，则SOR收敛。
根据迭代法收敛性定理，SOR法收敛的充分必要条件为Gw1，但要计算Gw比较
复杂，通常都不用此结论，而直接根据方程组的系数矩阵A判断SOR迭代收敛性，下面先给出收敛必要条件
定理1：设AaijR
aij0i12
，则解方程Axb的SOR迭代法收敛的必
要条件是0＜ω＜2
定理2：若AR
对称正定，且0＜ω＜2，则解Axb的SOR迭代法xk1Gxkf对
xR
迭代收敛对于SOR迭代法，松弛因子r