数值分析期末复习
题型:一、填空二、判断三、解答(计算)四、证明
第一章误差与有效数字
一、有效数字
1、定义:若近似值x的误差限是某一位的半个单位,该位到x的第一位非零数字共有
位,就说x
有
位有效数字。
2、两点理解:
(1)四舍五入的一定是有效数字
(2)绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg3、定理1(P6):若x具有
位有效数字,则其相对误差限为
r
12a1
10
1
4、考点:
(1)计算有效数字位数:一个根据定义理解,一个根据定理1(P7例题3)
二、避免误差危害原则
1、原则:
(1)避免大数吃小数(方法:从小到大相加;利用韦达定理:x1x2ca)
(2)避免相近数相减(方法:有理化)egxεx
ε
l
x
εl
x
l
1εx
1cosx
2si
2
x2
或
xε
x
(3)减少运算次数(方法:秦九韶算法)egP20习题14
三、数值运算的误差估计1、公式:
(1)一元函数:εfxf’xεx或其变形公式求相对误差(两边同时除以fx)egP19习题1、2、5
(2)多元函数(P8)egP8例4,P19习题4
1
f第二章插值法
一、插值条件
1、定义:在区间ab上,给定
1个点,a≤x0<x1<…<x
≤b的函数值
yifxi,求次数不超过
的多项式Px,使P
xiyi
i012
2、定理:满足插值条件、
1个点、点互异、多项式次数≤
的Px存在且唯一
二、拉格朗日插值及其余项1、
次插值基函数表达式(P26(28))2、插值多项式表达式(P26(29))3、插值余项(P26(212)):用于误差估计4、插值基函数性质(P27(217及218))egP28例1
三、差商(均差)及牛顿插值多项式1、差商性质(P30):
(1)可表示为函数值的线性组合(2)差商的对称性:差商与节点的排列次序无关(3)均差与导数的关系(P31(35))2、均差表计算及牛顿插值多项式
四、埃尔米特插值(书P36)两种解法:(1)用定义做:设P3xax3bx2cxd,将已知条件代入求解(4个条件:节点函数值、导数值相等各2个)(2)牛顿法(借助差商):重节点egP49习题14
五、三次样条插值定义
2
f(1)分段函数,每段都是三次多项式(2)在拼接点上连续(一阶、二阶导数均连续)
(3)Sxjyjj01
考点:利用节点函数值、导数值相等进行解题
第三章函数逼近与曲线拟合一、曲线拟合的最小二乘法
解题思路:确定i,解法方程组,列方程组求系数(注意i应与系数一一对应)egP95习题17形如yaebx解题步骤:(1)线性化(2)重新制表(3)列法方程组求解(4)回代
第四章数r