＝kx－4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．（1）求该二次函数的解析式；（2）当点P的坐标为（－4，m）时，求证：∠OPC＝∠AQC；（3）点M、N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M、N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．①连接AN，当△AMN的面积最大时，求t的值；②线段PQ能否垂直平分线段MN？如果能，请求出此时点P的坐标；如果不能，请说明你的理由．
y
P
CN
A
BOM
Q
x
【答案】解：（1）设该二次函数的解析式为y＝a（x＋3）（x＋1），则3＝a（0＋3）（0＋1），解得a＝1∴y＝（x＋3）（x＋1），即该二次函数的解析式为y＝x2＋4x＋3（2）∵一次函数令y＝kx－4k＝0，∴x＝4，∴Q（4，0）∵点P（－4，m）在二次函数y＝x2＋4x＋3的图象上，∴m＝（－4）2＋4×（－4）＋3＝3，∴P（－4，3）∵C（0，3），∴PC＝OQ＝4，
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com而PC∥OQ，∴四边形POQC是平行四边形∴∠OPC＝∠AQC．（3）①过点N作ND⊥x轴于D，则ND∥y轴，
y
P
CN
A
BOMD
NDNQ．COCQ
Q
x
∴△QND∽△QCO，∴
在Rt△OCQ中，CQ＝CO2OQ2＝3242＝5，
ND5t3，∴ND5t5351139545∴S△AMN＝AMND＝3t5t＝t22210285
∴77而0≤t≤，∴当t＝时，△AMN的面积最大．33②能．假设PQ垂直平分线段MN，则MQ＝NQ，即7－3t＝5－t，∴t＝1．此时AM＝3，点M与点O重合．过点N作ND⊥x轴于D，过点P作PE⊥x轴于E．则∠MND＝∠PQE＝90°－∠NMD，
NDQE．MDPE312416而ND＝NQsi
∠NQD＝4×＝，DQ＝NQcos∠NQD＝4×＝，5555
∴Rt△MND∽Rt△PQE，∴164∴MD＝OD＝4－＝．55设点P（x，x2＋4x＋3），
124x13109则52，解得x．4x4x365
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y
P
CN
E
A
BOMD
Q
x
1310934109或618
∴线段PQ能垂直平分线段MN，此时点P的坐标为

1310934109．618
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