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122

14

0


1x2

1xmi


0,a

0.



1x2

1x

1x

122

14

2,
1x2

1xmax

2,a

2.
综上得,a的取值范围为2a0。
2a0
3、数形结合法
(1)若不等式fxgx在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图
象上方;
(2)若不等式fxgx在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图
象下方。
例设fxx24xgx4x1a若恒有fxgx成立求实数a的取值范围3
分析:在同一直角坐标系中作出fx及gx的图象
y
如图所示,fx的图象是半圆x22y24y0
gx的图象是平行的直线系4x3y33a0。要使fxgx恒成立,则圆心20到直线4x3y33a0的距离
2
44
O
x
可编辑修改
f______________________________________________________________________________________________________________
833a
满足d
2
5
解得a5或a5(舍去3

当x01时,不等式x22
loga
x恒成立,求a的取值范围.
分析:注意到函数fxx2,gxlogax都是我们熟悉的函数,运用数形结合思想,可知要使对一切
x01,fxgx恒成立,只要在01内,
2
2
gxlogax的图象在fxx2图象的上方即可.显然
0a1,再运用函数思想将不等式转化为函数的最值问题,即f1g1.22
解:设
f
x

x2

gx

loga
x
,则要使对一切
x0
1,2
f
x

gx恒成立,由图象可知0

a
1,并

f
12

g12
,故有loga
12

14

a1,16
又0a1
1a116
点评:通过上述的等价转化,使恒成立的解决得到了简化,其中也包含着函数思想和数形结合思想的综合运用。
此外,从图象上直观得到0a1后还需考查区间01右端点x1处的函数值的大小。
2
2
4、变换主元法
例对于满足0p4的一切实数,不等式x2px4xp3恒成立,试求x的取值范围。
分析:习惯上把x当作自变量,记函数yx2p4x3p,于是问题转化为:当p04时,y0恒
成立,求x的取值范围.解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理,可想而知,这是相
当复杂的。
解:设函数fpx1px24x3,显然x1,则fp是p的一次r
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