122

14

0
，

1x2

1xmi


0，a

0．
又


1x2

1x

1x

122

14

2，
1x2

1xmax

2，a

2．
综上得，a的取值范围为2a0。
2a0
3、数形结合法
（1）若不等式fxgx在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图
象上方；
（2）若不等式fxgx在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图
象下方。
例设fxx24xgx4x1a若恒有fxgx成立求实数a的取值范围3
分析：在同一直角坐标系中作出fx及gx的图象
y
如图所示，fx的图象是半圆x22y24y0
gx的图象是平行的直线系4x3y33a0。要使fxgx恒成立，则圆心20到直线4x3y33a0的距离
2
44
O
x
可编辑修改
f______________________________________________________________________________________________________________
833a
满足d
2
5
解得a5或a5（舍去3
例
当x01时，不等式x22
loga
x恒成立，求a的取值范围．
分析：注意到函数fxx2，gxlogax都是我们熟悉的函数，运用数形结合思想，可知要使对一切
x01，fxgx恒成立，只要在01内，
2
2
gxlogax的图象在fxx2图象的上方即可．显然
0a1，再运用函数思想将不等式转化为函数的最值问题，即f1g1．22
解：设
f
x

x2
，
gx

loga
x
，则要使对一切
x0
1，2
f
x

gx恒成立，由图象可知0

a
1，并
且
f
12

g12
，故有loga
12

14
，
a1，16
又0a1
1a116
点评：通过上述的等价转化，使恒成立的解决得到了简化，其中也包含着函数思想和数形结合思想的综合运用。
此外，从图象上直观得到0a1后还需考查区间01右端点x1处的函数值的大小。
2
2
4、变换主元法
例对于满足0p4的一切实数，不等式x2px4xp3恒成立，试求x的取值范围。
分析：习惯上把x当作自变量，记函数yx2p4x3p，于是问题转化为：当p04时，y0恒
成立，求x的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相
当复杂的。
解：设函数fpx1px24x3，显然x1，则fp是p的一次r