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不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析一、不等式恒成立问题
问题引入：已知不等式x22ax10对x12恒成立，其中a0，求实数a的取值范围。
分析：思路（1）通过化归最值，直接求函数fxx22ax1的最小值解决，即fmi
x0。
思路（2）通过分离变量，转化到a

x212x

1x2

1解决，即ax

x212xmi

。
思路（3）通过数形结合，化归到x212ax作图解决，即yx21图像在y2ax的上方。
小结：不等式恒成立问题的处理方法1、转换求函数的最值：
（1）若不等式Afx在区间D上恒成立则等价于在区间D上Afxfx的下界大于A；mi

（2）若不等式Bfx在区间D上恒成立则等价于在区间D上Bfxfx的上界小于B。max
例已知fxx22xa对任意x1fx0恒成立，试求实数a的取值范围。
x
解：等价于xx22xa0对任意x1恒成立又等价于x1时xmi
0成立由于
tmgt
xx12a1在1上为增函数
则mi
x1a3所以a30a3
2、分离参数法
o1
t图1
（1）将参数与变量分离，即化为gfx（或gfx）恒成立的形式；
（2）求fx在xD上的最大（或最小）值；
（3）解不等式gfxmax或gfxmi
，得的取值范围。
例已知函数fxax4xx2x04时fx0恒成立，求实数a的取值范围。
解：将问题转化为a4xx2对x04恒成立。x
可编辑修改
f______________________________________________________________________________________________________________
令gx
4xx2x
，则agxmi

由gx
4xx2x
4x
1
可知
gx
在04上为减函数，故
gxmi


g4

0
∴a0即a的取值范围为0。
注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。
例已知二次函数fxax2x，若x01时，恒有fx1，求a的取值范围。
解：fx1，1ax2x1，即1xax21x
（1）当x0时，不等式1a01显然成立，aR
（2）当0

x
1时，由1
x

ax2
1
x得
1x2

1x

a

1x2

1x

1x2

1x

1x
r