减少解析几何运算量的若干方法一、回归定义，以简驭繁圆锥曲线的许多性质是由定义派生出来的。解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合的思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上。例1、在面积为1的ΔPMN中，tg∠PMN
1tg∠MNP2建立适当的坐标系，求以M、N为2
焦点且过点P的椭圆方程93年高考题分析：在该题的题设条件中，其实是给出了ΔPMN的两内角的大小及它的面积。因此我们应考虑如何应用平几知识和椭圆定义将问题解决。x2y221，解：建立如图1所示的坐标系，设所求的椭圆方程为则由椭圆定义有2aPMPN，2
a
b
2cMN
A，tg∠MNP2，tg∠PNA2。由平面几何知识有
PA1MA2PA2AN1MNPA12AMANMN
，过点P向x轴作垂线，垂足为
23PA2153PM3MN3PN15AM43AN3333
2aPMPN15a
152153a，2cMN3，c，224
b2a2c23。4x2y21所求的椭圆方程为153说明：在上述解题过程中，PNPM
是所求椭圆的长轴长，它是减轻本题运算量的关键。
2例2、长度为a的线段AB的两端点在抛物线x2pya≥2p0上运动，以AB的中点C为圆心作圆和抛物线的准线相切，求圆的最小半径（85年湖北省六市高考预选题）。分析这里其实就是要求定长弦AB的中点C到准线的最小距离。由于AB中点到准线的距离等于AB两端点到准线的距离的算术平均值，所以问题就进一步转化为求A、B两点到准线距离之和的最小值。由抛物线的定义知：A、B两点到准线的距离分别等于它们到焦点的距离，所以当线段A、B过焦点时，A、B两点到焦点的距离之和取得最小值a，这时A、B两点到准线的距离之和也取得最小值a，所以点C到准线的距离取得最小
值
a。2
1
解：如图2，过弦AB的两端分别作准线的垂线，垂足为G、H又设圆C与抛物线的准线切于D设抛物线的焦点F连CD、AF、BF。由抛
f物线的定义，
AGAF
，且
BHBF
CD
1AGBH1AFBF≥1AB1a。上22221式中的等号当且仅当AB过焦点F时成立。所以圆C的最小半径是a2
说明：因为过抛物线焦点的弦中，弦长最小的是通径（即过焦点且与对称轴垂直的弦），由于通径长为2p，所以抛物线的定长弦的长度a大于等于2p时，本例的上述解法才成立r