平阳xx中学竞赛讲义
第二讲分式的化简与求值
要解决有关分式的问题，就必须准确掌握分式的概念，分式的基本性质、分式的四
则运算等知识，本讲主要讲述分式的变形和求值的技巧。给出一定的条件，在此条件下
求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须
先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本
策略．
一、分式的分拆
例1若x取整数，则使分式6x3的值为整数的x的值有
个
2x1
例2将分式
化为部分分式。
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f例3化简分式：分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简
便得多．
例4化简分式：分析：三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．
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f例5化简计算式中a，b，c两两不相等：
似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为abac，而分子又恰好凑成abac，因此有下面的解法．
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f例6求能使
能被
10整除的正整数
的最大值。
分析：解决整除性问题的一个常用方法是把整式部分分离出来，从而只须考虑后面的分式部分的整除性，这样有利于简化问题。
二、参数法
例7、若xyz且xyz1，求xyz（甘肃升中题）。
234
12
解：设xyzk（k≠0）那么x2k、y3k、z4k234
代入xy－z1得：2k＋3k－4k1解得：k1，
12
12
12
所以x1，y1，z1643
评注：引入参数，把三个未知数转化为关于‘参数’的一元方程问题。
例8、求代数式x22x3的最大值和最小值？2x22x1
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f三、倒数法
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f例10已知
求

例11若ab1，bc1，ac1求abc的值ab3cb4ac5abbcac
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f例12求证无论ａ为什么整数，分式
均不可约。
分析：对于某些非零代数式来说，如果从取倒数的角度来分析，有可能揭示出一些内在的特征，从而找到解题的突破口。
四、整体代入
例13
已知
a2＋2a－1＝0，求分式

aa2

22a

a
2
a
14a
4


aa

42
的值．
分析：本例是将条件式化为“a22a1”代入化简后的求值式再求值，这种代入的技巧叫做整体
代入．
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f例14
适当变形，化简分式后再计算求值．
五、活用特殊值0和±1例15已知abc0求c11b11a11的值．
abcabc
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f例16已知abc＝1，求：abc的值aba1bcr