17.1勾股定理
第1课时勾股定理
1.经历探索及验证勾股定理的过程,体会数形结合的思想;重点
2.掌握勾股定理,并运用它解决简单的计算题;重点
3.了解利用拼图验证勾股定理的方法.难点
1AC的长;2S△ABC;3CD的长.解析:1由于在△ABC中,∠ACB=90°,AB=13cm,BC=5cm,根据勾股定理即可求出AC的长;2直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC;3根据面积公式得到CDAB=BCAC即可求出CD
一、情境导入
如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树,这就是著名的毕达哥拉斯树,它由若干个图形组成,而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形.各组图形大小不一,但形状一致,结构奇巧.你能说说其中的奥秘吗?
二、合作探究探究点一:勾股定理【类型一】直接运用勾股定理
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=13cm,BC=5cm,CD⊥AB于D,求:
解:1∵在△ABC中,∠ACB=90°,
AB=13cm,BC=5cm,∴AC=
AB2-BC2=12cm;
2S△
ABC
=
12
CBAC
=
12
×5×12
=
30cm2;
3∵S△
ABC
=
12
ACBC
=
12
CDAB
,
∴CD=ACABBC=1630cm
方法总结:解答此类问题,一般是先
利用勾股定理求出第三边,然后利用两种
方法表示出同一个直角三角形的面积,然
后根据面积相等得出一个方程,再解这个
方程即可.
【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用
在△ABC中,AB=15,AC=13,
1
fBC边上的高AD=12,试求△ABC的周长.
解析:本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.
解:此题应分两种情况说明:1当△ABC为锐角三角形时,如图①所示.在Rt△ABD中,BD=AB2-AD2=152-122=9在Rt△ACD中,CD=AC2-AD2=132-122=5,∴BC=5+9=14,∴△ABC的周长为15+13+14=42;
2当△ABC为钝角三角形时,如图②所示.在Rt△ABD中,BD=AB2-AD2=
152-122=9在Rt△ACD中,CD=AC2-AD2=132-122=5,∴BC=9-5=4,∴△ABC的周长为15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时,△ABC的周长为42;当△ABC为钝角三角形时,△ABC的周长为32
方法总结:解题时要考虑全面,对于存在的可能情况,可作出相应的图形,判断是否符合题意.
【类型三】勾股定理的证明探索与研究:
方法1:如图:
对任意的符合条件的直角三角形ABC
绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED,所以∠BAE=90°,且四边形ACFD是一个正方形,它的面积和四边形ABFE的面积相等,而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和.根据图示写出证明勾股r