20132014学年第1学期期末考试参考答案A
学院：xxx
专业：xxxx
班级：xxx
科目：实变函数
一、填空题（每小题4分，共20分）
1、康托集P0的测度mP00，基数P0c，内部P0
2、设
A

01
1

12
，则lim

A


01

3、设ER
，如果对任意的XR
，都有mXmXEmX
Ec，则
称E是可测集


4、设fk是E上的一列非负可测函数，令I1Efkxdx，I2Efkxdx，
k1
k1
则I1和I2的大小关系是I1I2
5、设
f

x


1q

x

pq
pqZ
p

q且pq
1，则
1
fxdx0
0，x01或01中的无理数
0

二、判断题（每小题3分，共15分）

三、叙述定理题（每小题5分，共10分）
1、鲁金Lusi
定理设f是E上几乎处处有限的可测函数，则对任意的0，存在闭集EE，
使得f在E上连续且mEE
2、Fatou引理
设fk是E上的一列非负可测函数，则
E
lim
k
fkxdx

lim
k
Efkxdx
四、计算limk
1k01
k
x2x2
si
7
kxdx
（10
分）
解
因为
lim
k
k1
k
x2x2
si
7
kxdx

0
………………………（2
分）
fkxsi
7kxkx1，…………………………（4分）
1k2x2
2kx2x
由于1在01上L可积，……………………………（6分）2x
由Lebesgue控制收敛定理，………………………………（8分）
lim
k
1k01
k
x2x2
si
7
kxdx

1
k
lim
0k1
xk2x2
si
7
kxdx

10dx0
0
五、证明题（共45分）
1、设F是闭集，G是开集，则FG是闭集，GF是开集（8分）证由于FGFGc，GFGFc，所以FG是闭集，GF是开集
2、证明若Eii12是R
中的可测集，且E1E2
可测且
m
lim
i
Ei

lim
i
mEi

（12分）
Ei
，则
lim
i
Ei
证令FiEiEi1i12E0………………………………………（2分）
则Fi是可测集，FiFjij，……………………………………（4分）


且limi
Ei

i1
Ei

i1
Fi
从而，
lim
i
Ei
可测，…………………………………（6分）


m
lim
i
Ei
mFi
i1

i1
mFi
………………………………………………………（8分）

k

i1
mEi

Ei1

lim
i
i1
mEi

Ei1
………………………………（10分）
k
limmk
Ei

Ei1

lim
k
mEk
…………………………………………（12分）
i1
3、设

f
k

是
E
上的非负可测函数列，证明，如果
lim
k
Efkxdx0，则函数列fk
在E上依测度收敛于0（12分）
证
0
，有mE
fk

1
Efkxdx
，……………3分
由于limk
E
fkxdx

0，从而有limmEk
fk

0……………（7
分）
所以limmEr