v011时，t，即经过时间t，船的速度减为原速度的一半．2kv0kv0
六．（本题满分8分）判别级数
122232
22
1

的敛散性．解：
0u

122232
2
2
2
2
22
2
3
11lim1
2
12
24


v2

2
而

1
12v2
1lim
1lim2
v

2

1
所以，由比值判别法，知级数
v


收敛．
12
2
f再由比较判别法知级数
u

1

122232
2收敛．2
1

七．（本题满分8分）计算曲面积分
I2xz2dydzyz21dzdx9z3dxdy





其中为曲面zx2y211z2，取下侧．解：取平面1：z2，取上侧．则与1构成封闭曲面，取外侧．令与1所围空间区域为，由Gauss公式，得
I
1

1
dxdydz

x2y21
92dxdydrdrdzdxdy2
123001r2x2y21
2
八．（本题满分8分）求微分方程
y2y10
的积分曲线，使该积分曲线过点0，解：这是一个不显含自变量x的微分方程．设yp，则有yp

1，且在该点的切线斜率为2．2
dp，代入方程，得dy
y2p
dp1dy
解此方程，得
1121pC1．由y0，y02，得C10．因此有方程22y
3
dy2．其解为，dxy
121222y2xC2，由y0，得C2，因此所求积分曲线为2323
3
3212yx22
32
3
或
11y3x22
3
2
f九．（本题满分8分）选取a与b，使得
axyxybdx2dy22xyxy2
成为某一函数ux，y的全微分，并求ux，y．解：
Px，y
axyxyb，Qx，y222xyxy2
由dux，yPx，ydxQx，ydy，得
PQyx
即有
x2y2axy2y
x
2
y2

2

x2y2xyb2x
x
2
y2

2
解得，a1，b0．所以，
ux，y
x，y

1，0
xydxxydyxdxy
xy
22

1
x
x
0
xydy2y2
r