222双曲线的简单几何性质
学习目标1了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等2能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题3能区别椭圆与双曲线的性质
知识点一双曲线的几何性质
标准方程
ax22－by22＝1a0，b0
ay22－bx22＝1a0，b0
图形
范围
x≥a或x≤－a
y≥a或y≤－a
对称性
对称轴：坐标轴对称中心：原点
性顶点坐标
A1－a0，A2a0
A10，－a，A20，a
质实轴和虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴；线段B1B2叫做双曲线的虚轴
渐近线
y＝±bax
y＝±abx
离心率
e＝ac，e∈1，＋∞
知识点二等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x思考1椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围一样吗？2若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？答案1不一样椭圆的离心率0e1，而双曲线的离心率e12当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线y＝±bax的双曲线可设为ax22－by22＝λλ≠0，λ∈R，当λ0时，
f焦点在x轴上，当λ0时，焦点在y轴上
题型一已知双曲线的标准方程求其几何性质
例1求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程解将9y2－4x2＝－36化为标准方程x92－y42＝1，即3x22－2y22＝1，∴a＝3，b＝2，c＝13因此顶点为A1－30，A230，焦点为F1－13，0，F213，0，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝ac＝313，渐近线方程为y＝±bax＝±23x反思与感悟讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质跟踪训练1求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率解将方程x2－3y2＋12＝0化为标准方程y42－1x22＝1，∴a2＝4，b2＝12，∴a＝2，b＝23，∴c＝a2＋b2＝16＝4∴双曲线的实轴长2a＝4，虚轴长2b＝43焦点坐标为F10，－4，F204，顶点坐标为A10，－2，A202，渐近线方程为y＝±33x，离心率e＝2
题型二根据双曲线的几何性质求标准方程
例2求适合下列条件的双曲线的标准方程：1一个焦点为013，且离心率为153；2渐近线方程为y＝±12x，且经过点A2，－3
f解1依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又ac＝153，∴a＝5，b＝c2－a2＝12，故其标准方程为2y52－1x424＝12方法一∵双曲线的渐近线方程为y＝±12x，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为ax22－by22＝1a0，b0，则ba＝12①∵A2，－3在双曲r