，BP＝3，∴AP＝ABBP＝23，即：满足条件的AP的长为3或23．
【点睛】本题是新定义问题，同时涉及到三角函数、勾股定理、等边三角形性质等知识点，综合程度比较高，前两问解题关键在于看懂题目给到的定义，第三问关键在于P点的分类讨论
f6．
如图，△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝3，点P是AC边上一动点（不与点A、C重合），5
以PA长为半径的⊙P与边AB的另一个交点为D，过点D作DE⊥CB于点E．（1）当⊙P与边BC相切时，求⊙P的半径．（2）连接BP交DE于点F，设AP的长为x，PF的长为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围．（3）在（2）的条件下，当以PE长为直径的⊙Q与⊙P相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长
【答案】（1）R40（2）y5xx28x80（3）50105
9
3x20
【解析】
【分析】
（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC＝3，则5
si
C＝4，si
C＝HP＝R＝4，即可求解；
5
CP10R5
（2）首先证明
PD∥
BE，则
EBPD

BFPF
，即：
425x
x

x28x80y，即可求解；y
（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AG＝EP＝BD，即：AB＝DBAD＝AGAD＝
45，即可求解．
【详解】
（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，
f连接HP，则HP⊥BC，cosC＝3，则si
C＝4，
5
5
si
C＝HP＝R＝4，解得：R＝40；
CP10R5
9
（2）在△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝3，5
设AP＝PD＝x，∠A＝∠ABC＝β，过点B作BH⊥AC，
则BH＝ACsi
C＝8，
同理可得：CH＝6，HA＝4，AB＝45，则：ta
∠CAB＝2，
BP＝82x42＝x28x80，
DA＝25x，则BD＝4525x，
5
5
如下图所示，PA＝PD，∴∠PAD＝∠CAB＝∠CBA＝β，
ta
β＝2，则cosβ＝1，si
β＝2，
5
5
fEB＝BDcosβ＝（4
525
5
x）×
15
＝425
x，
∴PD∥BE，
∴
EBPD

BFPF
，即：
4
25x
x

x28x80y，y
整理得：y＝5xx28x80；3x20
（3）以EP为直径作圆Q如下图所示，
两个圆交于点G，则PG＝PQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD为相交所得的公共弦，∵点Q是弧GD的中点，∴DG⊥EP，∵AG是圆P的直径，∴∠GDA＝90°，∴EP∥BD，由（2）知，PD∥BC，∴四边形PDBE为平行四边形，∴AG＝EP＝BD，
∴AB＝DBAD＝AGAD＝45，
设圆的半径为r，在△ADG中，
2r
4r
AD＝2rcosβ＝，DG＝，AG＝2r，
5
5
2r
20
2r＝45，解得：2r＝
，
5
51
4r
则：DG＝
＝5010
5
5，
相交所得的公共弦的长为50105．
【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾r