圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有种不同和排列方法．只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的．解：每个女孩与其后的两个男孩组成一组，共8组，与余下9个男孩进行排列，某个女孩始终站第一个位子，其余7组在89－1个位子中选择7个位子，得C89－1C16种选法．
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f1990年全国高中数学联赛
7个女孩可任意换位，25个男孩也可任意换位，故共得C16725种排列方法．三．本题满分20分2abπ已知a，b均为正整数，且ab，si
θ22，其中0θ，A
a2b2
si
θ．求证：对于一切自然数ab2
，A
均为整数．a2－b22ab证明：由si
θ22，得cosθ22．记A
a2b2
cos
θ．abab当a、b均为正整数时，A12ab、B1a2－b2均为整数．A24aba2－b2，B22a2－b22－a2b22也为整数．若Aka2b2ksi
kθ、Bka2b2kcoskθ均为整数，则Ak1a2b2k1si
k1θa2b2k1si
kθcosθa2b2coskθsi
θAkB1A1Bk为整数．Bk1a2b2k1cosk1θa2b2k1coskθcosθ－a2b2k1si
kθsi
θBkB1－AkA1为整数．由数学归纳原理知对于一切
∈N，A
、B
为整数．四．
2个正数排成
行
列a11a12a13a14a1
a21a22a23a24a2
a31a32a33a34a3
a41a42a43a44a4
a
1a
2a
3a
4a
13其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等．已知a241，a42，a43，816求a11a22a
．1990年全国高中数学联赛分析由a42、a43或求a44，由a24，a44可求公比．解设第一行等差数列的公差为d，各列的公比为q．∴由a44a24q2，得，1q2∴∴∴∴令S
a11a22a
．则k－111k1
S－Sk－kk－
12k12k222k222

7
1a442a43－a42．4
a12a42q31．
－
a14－a121d，24－21a1ka12k－2dkk1，2，3，，
211k－11k－akka1kqk1kk．222
Σ

1
Σ
Σ


111
2－
－
11－
122222
2∴S2－
．2
9
f1990年全国高中数学联赛
五．设棱锥MABCD的底面为正方形，且MAMD，MA⊥AB，如果△AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径．M解：取AD、BC中点E、F，则ME⊥AD，AB⊥MA，AB⊥AD，AB⊥平面MAD，R∴平面MAD⊥平面ABC．∴ME⊥平面ABC．OHCQD∴平面MEF⊥平面ABC．FEP∵EF∥AB，故EF⊥平面MAD，∴平面MEF⊥平面MAD．AB∵BC⊥EF，BC⊥ME，∴BC⊥平面MEF，∴平面MEF⊥平面MBC．2设ABa，则ME，MFa42a22．a22，aa4a222．a
取△MEF的内切圆圆心O，作OP⊥EF、OQ⊥ME，OR⊥MF，由于平面MEF与平面MAD、ABC、MBC均垂直，则OP、OQ、ORr