分别与平面ABC、MAD、MBC垂直．从而以此内切圆半径为半径的球与平面MAD、ABC、MBC都相切，设此球的半径为r，则12∴ra－2a4a22a22aa4a22a122－1．等号当且仅当a，即a2时成立．a21
作QH⊥MA，由于OQ∥AB，故OQ∥平面MAB，故球心O与平面MAB的距离QH，当AB2，ME2，MA10，MQ2－2－11．2
212QHAEMQAE5∵△MQH∽△MAE，∴，QH2－1．MQMAMA1052即O与平面MAB的距离r，同理O与平面MCD的距离r．故球O是放入此棱锥的最大球．∴所求的最大球半径2－1．
10
f1990年全国高中数学联赛
第二试10月14日上午10∶3012∶30一．本题满分35分四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1、O2、O3、O4．求证OP、O1O3、O2O4三直线共点．证明∵O为ABC的外心，∴OAOB．∵O1为PAB的外心，∴O1AO1B．E1∴OO1⊥AB．D作PCD的外接圆⊙O3，延长PO3与所作圆交于点E，并与AB交O32C于点F，连DE，则123，EPDBPF，∴PFBEDP90．O4P∴PO3⊥AB，即OO1∥PO3．O2同理，OO3∥PO1．即OO1PO3是平行四边形．O∴O1O3与PO互相平分，即O1O3过PO的中点．同理，O2O4过PO中点．O13A∴OP、O1O3、O2O4三直线共点．
FB
二．本题满分35分设E1，2，3，，200，Ga1，a2，，a100E．且G具有下列两条性质：⑴对任何1ij100，恒有aiaj≠201；⑵
Σa10080．
i
100i1
试证明：G中的奇数的个数是4的倍数．且G中所有数字的平方和为一个定数．证明：⑴取100个集合：ai，bi：aii，bi201－ii1，2，，100，于是每个集合中至多能取出1个数．于是至多可以选出00个数．现要求选出100个数，故每个集合恰选出1个数．把这100个集合分成两类：①4k1，200－4k；②4k－1，202－4k．每类都有50个集合．设第①类选出m个奇数，50－m个偶数，第②类中选出
个奇数，50－
个偶数．于是1m050－m－1
250－
≡10080≡0mod4．即m－3
≡0mod4，即m
≡0mod4∴G中的奇数的个数是4的倍数．⑵设选出的100个数为x1，x2，，x100，于是未选出的100个数为201－x1，201－x2，，201－x100．故x1x2x10010080．∴x12x22x1002201－x12201－x22201－x10022x12x22x1002－2×201×x1x2x100100×20122x12x22x1002－2×201×10080100×20121222322002．1∴x12x22x100212223220022×201×10080－100×2012211×200×201×401201×20160－20100×201261×100×67×401201×601349380．为定值．2三．本题r