01311x1x2x14100111
即有坐标为341。
T
1
姓名密
三、（10分）证明：设a是C
上的方阵范数DC
是可逆矩阵且D1a1对于任意矩阵AC
规定AbDAa证明：b是C
上的方阵范数
证明：1非负性：（1）A00bD0a0a0
（2）DC
是可逆矩阵AbDAa0DA0A0
f（3）DC
是可逆矩阵A0DA0AbDAa0（3分）2齐次性：（2分）AC
kCkAbDkAakDAakDAakAb
3三角不等式
ABC

ABbDABaDADBaDAaDBaAbBb
（2分）
4次乘性：

ABC
D1a1
ABbDABaDABaDABaDAaBaDaAbBb
（3分）四、（5分）设AC
若存在一种矩阵范数使得A1则limAk0
k
证明：10AkAk1AAk1AAk（2分）
2A1limAk0limAk0（2分）
kk
3limAk0limAk00limAk0（1分）
kkk
五、（5分）设ARm
Rm。证明：Ax相容的充要条件为AA。证明：若AA，则显然A为Ax的解，故Ax相容。2分反过来，若Ax相容，则存在x0R
，使得：Ax0，2分从而：AAAAAx0Ax0。六、10分设矩阵（1分）
14140542A11231416
求算子范数A1与A
f解：1
A1maxaijmax59101717（5分）
ji1


2Amax
i
a
j1


ij
max101171212（5分）
1201七、（15分）假定A002b12403
1求矩阵A的满秩分解；2求A；5分
5分
3判断方程组Axb是否相容？若相容，求其最小范数解；若不相容，求其极小最小二乘解。5分
120120行001，故矩阵A的满秩分解为：解：（1）Ar