重庆大学研究生2010级工科硕士生矩阵论考试试卷A
考试时间：2010年12月10日晚7：009：00考试方式：闭卷A
成绩：
一、（15分）设A
1125
试求2A412A319A229A37E4分


1

解：detEA267利用长除法或待定系数法求的
2412319229372672252
由于fAA26A7E0所以2A412A319A229A37EA2E所以原式A2E
1
（5分）
3分3分
31171232723
1
二、（15分）定义在由数域上次数不超过2的多项式构成的线性空间Kx2对任意的
fxgxKx2定义fxgxfxgxdx
10
证明：1
fxgx构成fxgx的内积从而Kx2对这个内积构成欧氏空间
2
（2）证明1xx为Kx2中一组基
3求fx1xx2对基1x1x2x1坐标解：证：
1对称性：fxgx

1
0
fxgxdxgxfxdxgxfx。
0
1
（2分）
可加性：对zxKx2，有
fxgxzxfxgxzxdxfxzxgxzx。
10
（2分）
齐次性：对kR，有
fkfxgx0kfxgxdxk0fxgxdxkfxgx。
非负性：显然有
1
1
（2分）
fxfx0f2xdx0，且fxfx0f2xdx0fx0。
从而fxgx构成内积。（2分）
1
1
2先证1xx2线性无关。假定存在三个常数a0a1a2R，使得：a01a1xa2x20
显然要使得该等式恒成立，必有：a20a10a20，从而1xx2线性无关。（1分）
其次，任意多项式fxa0a1xa2x2均由1xx2线性表示。故得证。1分3方
法
一
，
假
定
存
在
三
个
常
数
a0a1a2R
使
得
f
x1

2
a0xa01xa1x1a2x2x11x1x2x1a1展开a2
T
比较。即有坐标为341。4方法二，
（5分）
2x11x1x
1121xx01001
2
3
所以有
111213221xx1xx11x1x2x1r