法与例问题。定理4容斥原理；用A表示集合A的元素个数，则ABABAB
ABCABCABACBCABC，需要xy此结论可以推广
到
个集合的情况，即





AiAiAiAj
AiAjAk1
1Ai
i1
i1
ij
1ijk

i1
定义8集合的划分：若A1A2A
I，且AiAj1ij
ij，则这些子集的全集叫I的一个
划分。
定理5最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。
定理6抽屉原理：将m
1个元素放入
1个抽屉，必有一个抽屉放有不少于m1
个元素，也必有一个抽屉放有不多于m个元素；将无穷多个元素放入
个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。
例6求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数。【解】记I123100Ax1x100且x能被2整除（记为2x），
Bx1x1003xCx1x1005x，由容斥原理，
ABC

A
B
C

A
B
B
C
C
A
A
B
C

1002


1003


1005


1006


10010


10015


10030


74
，所以不能被
2，3，5
整除的数有
I

AB
C

26
个。
例7S是集合1，2，…，2004的子集，S中的任意两个数的差不等于4或7，问S中
最多含有多少个元素？
f【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S至多含有其中5个数。又因为2004182×112，所以S一共至多含有182×52912个元素，另一方面，当Srr11ktt124710r2004kN时，恰有S912，且S满足题目条件，所以最
少含有912个元素。
例8求所有自然数
2，使得存在实数a1a2a
满足：
ai
aj1i
j
12

12
【解】当
2时，a10a21；当
3时，a10a21a33；当
4时，
a10a22a35a41。下证当
5时，不存在a1a2a
满足条件。
令0a1
a2

a
，则a



12
所以必存在某两个下标ij，使得aiaja
1，所以a
1a
1a1a
1或
a

1
a

a2，即a2
1，所以a



2
1

a
1

a

1或a



12
，a2
1。
（）若a



12a
1

a

1，考虑a


2，有a

2

a
2或a

2

a

a2
，即
a22，设a
2a
2，则a
1a
2a
a
1，导致矛盾，故只有a22
考虑a
3，有a
3a
2或a
3a
a3，即a33，设a
3a
2，则
a
1a
22a2a0，推出矛盾，设a33，则a
a
11a3a2，又推出矛盾，所以
a
2a2
4故当
5时，不存在满足条件的实数。
（）若a



2
r