Z；（2）4k2MkZ；（3）若pMqM，则pqM证明（1）因为kk1Z，且2k1k2k12，所以2k1M（2）假设4k2MkZ，则存在xyZ，使4k2x2y2，由于xy和xy有相同的奇偶性，所以x2y2xyxy是奇数或4的倍数，不可能等于4k2，假设不成立，所以4k2M（3）设px2y2qa2b2xyabZ，则pqx2y2a2b2a2a2y2b2x2b2y2a2xayb2xbya2M（因为xayaZxbyaZ）。2．利用子集的定义证明集合相等，先证AB，再证BA，则AB。例2设A，B是两个集合，又设集合M满足
fAMBMABABMAB，求集合M（用A，B表示）。【解】先证ABM，若xAB，因为AMAB，所以xAMxM，所以ABM；再证MAB，若xM，则xABMAB1）若xA，则xAMAB；2）若xB，则xBMAB。所以MAB综上，MAB3．分类讨论思想的应用。例3Axx23x20Bxx2axa10Cxx2mx20，若ABAACC，求am【解】依题设，A12，再由x2axa10解得xa1或x1，因为ABA，所以BA，所以a1A，所以a11或2，所以a2或3。因为ACC，所以CA，若C，则m280，即22m22，若C，则1C或2C，解得m3综上所述，a2或a3；m3或22m22。4．计数原理的应用。例4集合A，B，C是I1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的子集，（1）若ABI，求有序集合对（A，B）的个数；（2）求I的非空真子集的个数。【解】（1）集合I可划分为三个不相交的子集；AB，BA，ABI中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个。（2）I的子集分三类：空集，非空真子集，集合I本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有2101024个，非空真子集有1022个。5．配对方法。例5给定集合I123
的k个子集：A1A2Ak，满足任何两个子集的交集非空，
f并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求k的值。【解】将I的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得2
1对，每一对不能同
在这k个子集中，因此，k2
1；其次，每一对中必有一个在这k个子集中出现，否则，若
有一对子集未出现，设为C1A与A，并设AA1，则A1C1A，从而可以在k个子集中再添加C1A，与已知矛盾，所以k2
1。综上，k2
1。
6．竞赛常用方r