函数
，求t的取值范围．
【分析】（1）在定义域内，由
，f（x1）f（x）f（1），知
，
由此能推导出
M．
（2）由函数
，知lg
（t1）0有实数解，由此能求出t的范围．【解答】解：（1）在定义域内，
∵
，f（x1）f（x）f（1）
∴
，
∵方程x2x10无实数解，
∴
M．（6分）
lg
lg，所以（t2）x22tx2
f（2）∵函数
，
∴lg
lg
lg，
∴（t2）x22tx2（t1）0有实数解，
t2时，
；
t≠2时，由△4t24（t2）×2（t1）≥0，
得
．
∴
．（12分）
【点评】本题考查函数的性质和应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意对数
的性质的灵活运用．
20．（12分）（2015河南二模）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA13，点E在棱B1B上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．
【分析】（Ⅰ）首先，连结BD，可以首先，证明AC⊥平面B1BDD1，然后，得到AC⊥D1E；
（Ⅱ）首先，可以得到∠A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角，然后，根据
，
求解得到，∠A1D1E60°．【解答】解：（Ⅰ）如下图所示：
f连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵四棱柱ABCDA1B1C1D1是直棱柱，∴B1B⊥平面ABCD，∵AC平面ABCD，∴B1B⊥AC，∴AC⊥平面B1BDD1．∵D1E平面B1BDD1，∴AC⊥D1E．
（Ⅱ）∵∴
，EB1⊥平面A1B1C1D1，．
∵
，
∴
．
∴EB12．∵AD∥A1D1，∴∠A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角．
在Rt△EB1D1中，求得
．
∵D1A1⊥平面A1ABB1，∴D1A1⊥A1E．在Rt△EB1D1中，得
f，
∴∠A1D1E60°．∴异面直线AD，D1E所成的角为60°．【点评】本题重点考查了线面垂直、线线垂直的判定与性质、异面直线所成的角等知识，属于中档题．
21．（12分）（2015秋玉林期末）已知函数f（x）l
x2x．（1）用定义证明函数f（x）在（0，∞）上是增函数；
（2）设g（x）l

，若对任意x1∈（0，1），x2∈（k，k1）（k∈N），使f（x1）＜g
（x2），求实数k的最大值．【分析】（1）求函数的定义域，然后利用函数单调性的定义进行证明．（2）利用函数的单
调性求实数k的最大值．
【解答】解：（1）因为函数的定义域为（0，∞），
设x1＞x2＞0…（2分）
则f（x1）f（x2）l
x1l
x22（x1x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（0，∞）是增函数
…（4分）
（2）由（1）知f（x）在（0，∞）是增函数
∴f（x1）＜f（1）2…（6分）
令g（x2）≥2即l

≥2即x22≥e2（x22）
得x2≤
2
，
∵2
∈（2，3）…（8分）
r