0910秋冬《线性代数I》期末试卷参考答案1．定义题，略。
22．解：显然，向量组B1xx是V的一组基。接下来求T关于基B的矩阵A，然后求A
的特征值和特征子空间，则T的特征值就是A的特征值，而以A的相应特征值的子空间作为关于基B的坐标得到的V的子空间即为T的特征值的相应子空间！3．证：因为rBC≤rB，而B的列数为1，所以rBC≤rB≤1。因为rA1，所以存在3阶可逆阵PQ使得
1001AP000QP0100Q，00001令BP0C100Q，则。。。0
4．解：首先对矩阵A有rArA程组的一般解。5．证明：（a）因为ATATATATTATA，所以ATA是对称矩阵。（b）因为A是实矩阵，由（a）可知，ATA是实对称矩阵。对任一实列向量X0≠0，因为A可逆，有实列向量Y0AX0≠0。所以内积Y0Y00，即X0AAX0Y0Y0Y0Y00，所以二次型XTATAX正定，即ATA正定。
TTT
β使用初等行变换化为阶梯型。因为方程组有解且不唯一，所以
β≤2，由此条件和上面所得的阶梯型可得a的取值，进而求出此时方
6．解：（a）标准的对角化题目，略。（b）因为A实对称，所以（a）中所求的相似标准形也是A的一个相合标准形，其中对角线上正数的个数即为正惯性指数，负数的个数即为负惯性指数，然后根据定义判断A正定、负定、半正定、半负定或不定。7．解：求T关于基的矩阵表示A是定义题，然后根据T同构当且仅当A可逆得出条件。8．证明：因为A是
阶矩阵且有两个不同特征值λ1，λ2，所以特征值λ1的重数≤
1。因为λ1的特征子空间的维数
1，所以特征值λ1的重数≥dimVλ1
1。所以特征值λ1的重数
1λ1的特征子空间的维数。因为A是
阶矩阵且特征值λ1的重数
1，所以特征值λ2的重数≤
11，进
f而特征值λ2的重数1λ2的特征子空间的维数。综上所述，A可对角化。9．解：（a）对。证明过程借助课本P70定理26和P104的内容（或者课堂上给出的一个线性映射的例子）自己给出。（b）错。反例为非齐次线性方程组，自己给出。（c）对。证明自己给出或参看P142定理48。（d）错。反例为课本P245例2
fr