2

2
12
12
1
1＝222
＝
（分组求和）

12
22
五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：（1）a
f
1f
（2）
si
1ta
1ta
cos
cos
12
211112
12
122
12
1
（3）a

111
1
1
（4）a

（5）a

1111
1
22
1
1
2
6a

212
1
1111
则S
1
1

12
12
2
12
12
1121231
11121
1的前
项和
例9求数列
解：设a

1
1
1
（裂项）
则S

123

（裂项求和）
＝2132
1
＝
11
4
f例10在数列a
中，a
∵a

12
2，又b
，求数列b
的前
项的和
1
1
1a
a
1
解：
12

1
1
12211∴b
8
1
122
数列b
的前
项和
（裂项）
∴
1111111S
8122334
18
1＝＝81
1
1
例11求证：解：设S
（裂项求和）
111cos1cos0cos1cos1cos2cos88cos89si
21
111cos0cos1cos1cos2cos88cos89

si
1∵ta
1ta
cos
cos
1
∴S

（裂项）
111（裂项求和）cos0cos1cos1cos2cos88cos891ta
1ta
0ta
2ta
1ta
3ta
2ta
89ta
88＝si
1
＝
11cos1ta
89ta
0＝cot1＝2si
1si
1si
1
∴原等式成立
六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S
例12求cos1°cos2°cos3°cos178°cos179°的值解：设S
＝cos1°cos2°cos3°cos178°cos179°∵cos
cos180

（找特殊性质项）
∴S
＝（cos1°cos179°）（cos2°cos178°）（cos3°cos177°）（cos89°cos91°）cos90°（合并求和）＝0例13r