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1………………………………②(设制错位)222221222222
①-②得1S
234
1(错位相减)222222212
2
1
122
2S
4
1∴2
三、反序相加法求和这是推导等差数列的前
项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到
个a1a
012
例5求证:C
3C
5C
2
1C
12

证明:设S
C
3C
5C
2
1C
…………………………①
012

2
f把①式右边倒转过来得

10S
2
1C
2
1C
13C
C
m
又由C
C
m可得01
S
2
1C
2
1C
3C
1C
………………②
(反序)
①②得∴
22
01
2S
2
2C
C
C
1C
2
12

(反序相加)
S
12
222
例6求si
1si
2si
3si
88si
89的值解:设Ssi
1si
2si
3si
88si
89…………①
22222
将①式右边反序得
222Ssi
289si
288si
3si
2si
1…………②
(反序)
又因为si
xcos90xsi
2xcos2x1①②得
(反序相加)
2Ssi
21cos21si
22cos22si
289cos289=89
∴S=445
四、分组法求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可例7求数列的前
项和:11
111427
13
2,…aaa111解:设S
11427
13
2aaa
将其每一项拆开再重新组合得
S
1
1112
11473
2aaa3
1
3
1
当a=1时,S
=2211
1
a3
1
=aa3
1
当a1时,S
1a1221a
32
(分组)(分组求和)
例8求数列
12
1的前
项和解:设akkk12k12k3kk
3
f∴
S
kk12k1=2k33k2k
k1k1



将其每一项拆开再重新组合得S
=2

k1


k33k2k
k1k1



(分组)
=21323
331222
21r
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