20192020学年高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式3排序不等式学案新人教A版选修45
1．了解排序不等式的数学思想和背景．2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．重点、难点
基础初探教材整理1顺序和、乱序和、反序和的概念阅读教材P41～P42“探究”以上部分，完成下列问题．设a1≤a2≤a3≤…≤a
，b1≤b2≤b3≤…≤b
为两组实数，c1，c2，…，c
是b1，b2，…，
b
的任一排列，则称ai与bii＝12，…，
的相同顺序相乘所得积的和a1b1＋a2b2＋…＋a
b
为顺序和，和a1c1＋a2c2＋…＋a
c
为乱序和，相反顺序相乘所得积的和a1b
＋a2b
－1＋…＋a
b1称为反序和．教材整理2排序不等式阅读教材P42～P44，完成下列问题．设a1≤a2≤…≤a
，b1≤b2≤…≤b
为两组实数，c1，c2，…，c
是b1，b2，…，b
的任一排列，则a1b
＋a2b
－1＋…＋a
b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a
c
≤a1b2＋a2b2＋…＋a
b
，当且仅当a1＝a2＝…＝a
或b1＝b2＝…＝b
时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和≤乱序和≤顺序和．质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：
小组合作型
f用排序不等式证明不等式字母大小已定已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：1111≥≥；
bccaab
2
a2b2c211122＋22＋22≥2＋2＋2bccaababc
【精彩点拨】由于题目条件中已明确a≥b≥c，故可以直接构造两个数组．11【自主解答】1∵a≥b0，于是≤
ab
111又c0，∴0，从而≥，
c
bccabc
11同理，∵b≥c0，于是≤，111∴a0，∴0，于是得≥，
a
caab
111从而≥≥
bccaab
1112由1知≥≥0且a≥b≥c0，
bccaab
≥1
2
∴
1
b2c2c2a2a2b2
≥
1
，a≥b≥c
2
2
由排序不等式，顺序和≥乱序和得
a2b2c2b2c2a2111111＋＋≥＋＋＝＋＋＝＋＋，b2c2c2a2a2b2b2c2c2a2a2b2c2a2b2a2b2c2
故
a2b2c211122＋22＋22≥2＋2＋2bccaababc
利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．
再练一题1．本例题中条件不变，求证：【证明】∵a≥b≥c≥0，∴a≥b≥c，
555
a5b5c5c2a2b233＋33＋33≥3＋3＋3bccaababc
f1
cba
∴∴1
11≥≥＞011≥≥，≥1≥1，由顺序和≥乱序和得
bcacba
1
b3c3a3c3b3a3
a5b5c5b5c5a533＋33＋33≥33＋33＋33bcacbabcacba
＝3＋3＋3，∴
b2c2a2cab
a5b5c5r