三排序不等式
学生用书P49
A基础达标1.设正实数a1,a2,a3的任一排列为a′1,a′2,a′3,则aa′11+aa′22+aa′33的最小值为
A.3
B.6
C.9
D.12
解析:选A设a1≥a2≥a30,则a13≥a12≥a110,由排序不等式可知aa′11+aa′22+aa′33≥aa11+aa22+aa33=3
当且仅当a′1=a1,a′2=a2,a′3=a3时等号成立.
2.某学校举行投篮比赛,按规则每个班级派三人参赛,第一人投m分钟,第二人投
分钟,第三人投p分钟.某班级三名运动员A,B,C每分钟能投进的次数分别为a,b,c,
已知m>
>p,a>b>c,如何派三人上场能取得最佳成绩?
A.A第一,B第二,C第三
B.B第一,A第二,C第三
C.C第一,B第二,A第三
D.A第一,C第二,B第三
解析:选A因为m>
>p,a>b>c,且由排序不等式知顺序和为最大值,所以最大值
为ma+
b+pc,此时分数最高.所以,三人上场顺序是A第一,B第二,C第三.
3.若A=x21+x22+…+x2
,B=x1x2+x2x3+…+x
-1x
+x
x1,其中x1,x2,…,x
都是正
数,则A与B的大小关系为
A.A>B
B.A<B
C.A≥B
D.A≤B
解析:选C因为序列x
的各项都是正数,不妨设0<x1≤x2≤…≤x
,则x2,x3,…,x
,x1为序列x
的一个排列.由排序原理,得x1x1+x2x2+…+x
x
≥x1x2+x2x3+…+x
x1,即x21+x22+…+x2
≥x1x2+x2x3+…+x
x1故选C
4.车间里有5台机床同时出了故障,从第1台到第5台的修复时间依次为4mi
,8mi
,
6mi
,10mi
,5mi
,每台机床停产1mi
损失5元,经合理安排损失最少为
fA.420元
B.400元
C.450元
D.570元
解析:选A停产总时间是5t1+4t2+3t3+2t4+t5由排序不等式得,当t1<t2<t3<t4<t5时,总时间取最小值.
所以,总时间最小值为5×4+4×5+3×6+2×8+10=84,即损失最少为84×5=
420元.
5.已知a,b,c为正实数,则a2a2-bc+b2b2-ac+c2c2-ab
A.大于零
B.大于等于零
C.小于零
D.小于等于零
解析:选B设a≥b≥c>0,所以a3≥b3≥c3
根据排序原理,得a3×a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a
又知ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,
所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab,
所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab,
即a2a2-bc+b2b2-ac+c2c2-ab≥0
6.如图所示,矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,则阴影部分的矩形的面积之和________
空白部分的矩形的面积之和.填“≥”“≤”或“=”
解析:阴影面积为a1b1+a2b2,而空白面积为a1b2+a2b1根据顺序和≥反序和可知答案.答案:≥7.已知在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a<b<c若Mr