c2a2b233＋33＋33≥3＋3＋3bcacbaabc
字母大小顺序不定的不等式证明
a2＋b2b2＋c2c2＋a2a3b3c3设a，b，c为正数，求证：＋＋≤＋＋2c2a2bbccaab
【精彩点拨】1题目涉及到与排序有关的不等式；2题目中没有给出a，b，c的大小顺序．解答本题时不妨先设定a≤b≤c，再利用排序不等式加以证明．【自主解答】不妨设0a≤b≤c，则a≤b≤c，01
333
bccaab
11≤≤，
由排序原理：乱序和≤顺序和，得
a3＋b3＋c3≤a3＋b3＋c3，caabbcbccaaba3＋b3＋c3≤a3＋b3＋c3abbccabccaab
将上面两式相加得
333a2＋b2b2＋c2c2＋a2abc＋＋＋＋≤2，cabbccaab
11
11
11
11
11
11
将不等式两边除以2，得
a2＋b2b2＋c2c2＋a2a3b3c3＋＋≤＋＋2c2a2bbccaab
在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况：1要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．2若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据具体环境分类讨论．
f再练一题2．设a1，a2，…，a
为正数，求证：【导学号：32750056】
a2a2a2a212
－1
＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋a
a2a3a
a1
【证明】不妨设0＜a1≤a2≤…≤a
，则
22a21≤a2≤…≤a
，≥≥…≥a1a2a

1
1
1
由排序不等式知，乱序和不小于反序和，所以
a2a2a2a211112
－1
222＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋a
，即a2a3a
a1a1a2a
a2a2a2a212
－1
＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋a
a2a3a
a1
利用排序不等式求最值设A，B，C表示△ABC的三个内角，a，b，c表示其对边，求小值A，B，C用弧度制表示．【精彩点拨】不妨设a≥b≥c＞0，设法构造数组，利用排序不等式求解．【自主解答】不妨设a≥b≥c，则A≥B≥C由排序不等式，得
aA＋bB＋cC的最a＋b＋c
aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC，
将以上三式相加，得3aA＋bB＋cC≥a＋b＋cA＋B＋C＝πa＋b＋c，π当且仅当A＝B＝C＝时，等号成立．3∴即
aA＋bB＋cCπ≥，a＋b＋c3aA＋bB＋cCπ的最小值为a＋b＋c3
1．分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组．2．运用排序原理求最值时，一定要验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值．
f再练一题3．已知x，y，z是正数，且x＋y＋z＝1，求t＝＋＋的最小值．111222【解】不妨设x≥y≥z0，则x≥y≥z，≥≥
x2y2z2yzx
zyx
由排序不等式，乱序和≥反序和．
x2y2z2＋＋yzx
111222≥x＋yr