比数列
a

3
即
1
1
a

3a
1
整理得
12满足⑴式使22∴1
a
3a
13
33
∴数列
1是首项为111，q1的等比数列
a

a1
3
3
∴
111
11

a

33
3
∴a


3
。3
1
f（五）当递推公式为a
2pa
1qa（
pq均为常数）（又称二阶递归）
将原递推公式a
2pa
1qa
转化为a
2a
1＝（a
1a
）其中、由




pq
解出，由此可得到数列｛
a

1


a
｝是等比数列。
例
1：设数列a

的前


项和为
S

，


．已知
a1

1，a2

32
，a3

54
，且当



2
时，
4S
2
5S


8S
1

S
1．证明：a
1

12
a


为等比数列；
证明：因为4S
25S
8S
1S
1
2
所以4S
24S
1S
S
14S
14S
2
即4a
2a
4a
1
2
因为4a3a14a2
所以4a
2a
4a
1
因为
a
2

12
a
1

4a
2
2a
1

4a
1
a

2a
1

2a
1a

1
a
1

12
a

4a
12a

4a
12a

22a
1a
2
所以数列a
1

12
a
是以
a2

12
a1

1为首项，以
12
为公比的等比数列。
例
2、已知数列a
满足a1
1a2

2a
2

23
a
1

13
a

，求
a


例3已知
a11，a2
53
，
a
2

53
a
1

23
a
求数列｛a
｝的通项公式a

f六、取对数法
例1若数列a
中，a13且a
1a
2（
是正整数），则它的通项公式是a

解
由题意知a
＞0，将a
1
a
2两边取对数得lga
1

2
lg
a

，即
lga
1lga


2，所
以数列lga
是以lga1lg3为首项，公比为2的等比数列，lga
lga12
1lg32
1，
即a
32
1
七、平方（开方）法
例1
若数列a
中，a12且a

3

a2
1
（
2），求它的通项公式是a

解
将a

3

a2
1
两边平方整理得
a
2


a2
1

3
。数列
a
2

是以
a12
4为首项，3
为公差的等差数列。
a
2


a12

13

3
1。因为a
＞0，所以a


3
1。
八、特征根法与不动点法
1形如a
2pa
1qa
pq是常数）的数列形如a1m1a2m2a
2pa
1qa
pq是常数）的二阶递推数列都可用特
征根法求得通项a
，其特征方程为x2pxq…①
f若有两个不同的实数根，α，β，则a
2a
1和a
2a
1都是等比数列
若有一个实数根
α，则
a


为等差数列
若无实数根，则为周期或者类似周期的数列，循环前进
例1．已知数列a
满足a12a23a
23a
12a
N，求数列a
的通
项a
．
解：其特征方程为x23x2，解得x11x22，令a
c11
c22
，
由
aa12

c1c1

2c24c2

23
，得
c1c2
11
2
，
a
12
1．
例2．已知数列a
满足a11a224a
24a
1a
N，求数列a
的通
项a
．
解：其特征方程为4x2

4x
1，解得
x1

x2

12
，令a


r