数列通项公式的求法
一、观察法（即归纳推理，就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，然
后利用数学归纳法加以证明即可）
例1、求下列数列的一个通项公式
①2143851675101520
③3，33，333，3333
②1，0，1，0④11，103，1005，10007
二、公式法
例1、求下列数列的通项公式
①已知数列a
中a12a
1a
3
N求通项公式
②已知a
中a13且a
12a
求此数列的通项公式
前
项和法三、
（若已知数列的前
项和s
与a
的关系，求数列a
的通
项a
可用公式
求解。（一定要讨论
1，
≥2））
f例1设数列a
的前
项和为S
，已知2S
3
3
（Ⅰ）求数列a
的通项公式。
解：（Ⅰ）由2S
3
3
可得：当
1时，
a1

S1

12
3

3

3
，
当


2时，a


S


S
1

12
3

3
12
3
1
3

3
1


2
而a13311，
所以
3
1a
3
1
1
例
2、已知数列a
的前


项和
S

，且满足
a1

32
S


a




2
，求数列a
的通项公
式
练习：已知数列a
的前

项和S

，且满足
a1

12
a


2S
S
1


2，求数列a
的
通项公式
四、累加法
当递推公式为a
1a
f
时，通常解法是把原递推公式转化为a
1a
f
。
f例1数列a
满足a11，且a
1a
1（
N），则数列的前10项和为
解：由题意得：
a
a
a
1a
1a
2a2a1a1
121
12
例
2、已知数列a
满足a1

2a
1

a


1
2


，求a

五、累乘法
当递推公式为a
1

a

f


时，通常解法是把原递推公式转化为
a
1a


f
，利用累乘法
求解。
例1已知数列
a

满足
a1

23

a
1


1a

，求
a

的通项公式。
解：由条件知a
1
，a
1
在上式中分别令
123
1，得
1个等式累乘之，
即a2a3a4a
123
1，即a
1
a1a2a3
a
1234


a1

又
a1

23
a


23

f例
2、已知数列a
满足a1

23

a
1

2
1
a

，求
a


六、构造法（待定系数法）共5种题型
（一）a
1pa
q
通常解法是把原递推公式转化为a
1
t

pa

t
，其中t

q1
p
，再利用换元法转化为
等比数列求解。
例题：已知数列a
满足a11a
13a
1，求a
的通项公式。
解：由a
13a
1
得
a
1

12

3a


12
又
a1

12

32
所以a


12
是首项为
32
，公比为3
的等比数列
所以
a


12

32
3
1

3
2
因此数列a
的通项公式为a


3
12

f例2
若数列a
中，a11，S
是数列a
的前
项之和，且S
1

S
34S

（
1），
求数列a
的通项公式是a

解
递推式S
1

S
34S

可变形为1S
1
31S

4
（1）
设（1）式可r