化为131
S
1
S

（2）
比较（1）式与（2）式的系数可得2，则有12312。故数列12
S
1
S

S

是以1S1
23为首项，3为公比的等比数列。1S

233
1
3
。所以S


1。3
1
当

2，a


S


S
1

13
2

13
12

32

23
83
12
。
数列a
的通项公式是a


1
23

32
83
12

1
。
2
（二）a
1pa
k
b其中pkb均为常数，且pk0
通常解法是把原递推公式转化为a
1x
1ypa
x
y，其中xy的值由方程

pxpy

xx

ky

b
给出。
f例1：在数列a
中，a12，a
14a
3
1，求数列a
的通项a
。解：由a
14a
3
1
得a
1
14a
又a111所以数列a
是首项为1，公比为4的等比数列所以a
4
1，即a
4
1

例2
在数列a
中，a1

32
，2a

a
16
3
①
求通项公式a

解①式可化为：
2a
1
2a
11
12
②
可得：
16，29，②式为2b
b
1
b

是一个等比数列，首项b1

a1

6


9

92
，公比为
12

∴b


91
122
即
a


6


9

91
2
故a


91
2
6
9
例
3、已知数列a
满足
a1
1a


12
a
1

2

1


2
，求通项公式
a

比较系数
f（三）a
1pa
c
（其中pc均为常数，且pc0）
通常解法是把原递推公式转化为
a
1c
1

pc

a
c

1c
。①若
p

c
，则
a
1c
1

a
c


1c
，此时
数
列

a
c


是
以
a1c
为首项，以
1c
为公差的等差数列，则
a
c


a1c

11c
，即
a


a1
1c
1。②若
p

c
，则可化为
a
1c
1
t

pc
a
c

t其中t

1c
形式求解。p
例1：已知数列a
中，a11，a
12a
3
，求数列的通项公式。
解：由a
12a
3

得a
13
12a
3

所以数列a
3
是首项为a1312，q2的等比数列
所以a
3
22
1，
即a
3
2

例
2、已知数列a
满足a1

2a
1

12
a


2

，求a

变式、已知数列｛a
｝，a11
∈N，a
12a
＋3
求通项公式a
．
f（四）当递推公式为
a
1

pa
qa

s
（
p
q
s
为常数，且
pqs

0
）
通常两边同时取倒数，把原递推公式转化为1sq。①若ps，则1是以1
a
1pa
p
a

a1
为首项，以
qp
为公差的等差数列，则1a


1a1

1
qp
，即a


pa1q
1pa1
。②若
ps，则可转化为1ts1t（其中tq）形式求解。
a
1
pa

ps
例
1已知数列
a

满足a1

32
，且
a


3
a
1（
2a
1
1

2


N），求数列a

的通
项公式。
解：原式可变形为2a
a
1
1a
3
a
1
两边同除以3a
a
1得

1
12a
3a
13
……⑴
构造新数列
，使其成为公比q1的等r