……………………………………………………18

f文档
二次型及其应用
摘要：二次型是代数学中的重要内容，它将二次函数与矩阵直观地联系起来，通过矩阵的
表达与计算简化了研究二次函数性质的过程。然而，在本科阶段中对二次型的学习要求并不多。因此本课题通过研究利用二次型的各项性质解决在因式分解、不等式的证明、二元及多元二次函数的极值和最值等方面的判定和求法，以及部分曲线或曲面积分等情形的问题，扩充二次型在初等数学和高等数学中的使用范围，并使本科生能全面地认识和使用二次型。
关键词：二次型；正定矩阵；正交变换；多元二次函数；曲面积分
QuadraticForma
dItsApplicatio
s
Abstract：Quadraticformisa
importa
tco
te
ti
algebraitco
ectsquadraticfu
ctio
withthe
matrixi
tuitivelya
dmaketheprocesstoresearchthepropertiesofthequadraticfu
ctio
seasierbyusi
gmatrixHoweveri
theu
dergraduatestudieslear
i
grequireme
tsforquadraticformis
otma
yThusthisprojectresearchesallthepropertiesofquadraticformi
ordertosolvethequestio
saboutfactorizatio
theproofofi
equalitytheextremumofthebi
arya
dmultivariatequadraticfu
ctio
a
dapartofcurvea
dcurvedsurfacei
tegralExpa
dthequadraticformusi
gscopeofeleme
tarymathematicsa
dhighermathematicsa
dmakeu
dergraduatesu
dersta
da
dusequadraticformthoroughlyatthesametime
KeyWords：QuadraticForm；PositiveDefi
iteMatrix；Orthogo
alTra
sformatio
；Multivariate
QuadraticFu
ctio
；CurvedSurfaceI
tegral

f文档
1二次型基本理论
二次型理论与高等代数理论、方法及其应用有着相辅相成的关系二次型与多项式的相互表示、二次型矩阵的性质以及正定半正定二次型关于矩阵特征值等等。在此，我们详细说明二次型的一些重要理论。
11二次型的矩阵表示
二次型是满足特殊条件的多项式的集合，矩阵是代数学的基础，应用于各个分支。使用矩阵来表示二次型，将会极大程度的简化二次型函数的表达式和其运算。
根据二次型的定义，将其表示为


fx1x2x

aijxixj
i1j1
a11
把等式右边的系数转化为矩阵，即
A


a21
a12
a22

a1

a2


。
a
1a
2a

所以二次型（11）的矩阵表示为
（11）
fx1x2x
XAX
其中A是表示其系数的对称矩阵，Xx1x2x
。
12二次型与矩阵的合同关系
定义111设数域P上
的矩阵A和B，如果有同数域上的可逆的
矩阵C，使得BCAC，则称A和B是合同的，即A与B是合同关系。
显然，要使新二次型的矩阵还原至原二次型矩阵，只需再令YC1X，而后做线性替换即可。所以，要了解或是使用原二次r