最远的点和最近的点
xy2z0解：xy3z5
得：z
5xy3
5xyxy203
22
2
x4xy5y20y500
22
Fxyxyx4xy5y20y50
2222
Fx
Fy
2x2x4y50
2y4x2y200
F
x4xy5y20y500
22
x1x5y1y5
得：z
max

12
xy
2
2
5
55
z
mi


12
xy
2
2
1
11
18（本题满分10分）函数fx在ab连续，Fx

x0
ftdt，证明Fx在ab可导，且
第6页共13页
fFxf
x
证：设x获得增量x，其绝对值足够小，使得xxab，则Fx（如图，图中x0）在xx处的函数值为：由此得函数的增量
FFxxFx
Fxx

xx
ftdt
0

x
xx0x0
ftdt
x
ftdt
0
ftdtftdt

xxx
ftdt
x
ftdt
0
xx
再应用积分中值定理，即有等式
Ffx
这里，在x与xx之间，把上式两端各除以x，得函数增量与自变量的比值
Fxf
由于假设fx连续，而x0时，x，因此limffx。于是，令x0
x0
对上式两端取极限，左端的极限也应该等于fx，故Fx的导函数存在，并且
Fxfx
19（本题满分10分）
f
x1
x，用余弦级数展开，并求
2
1

1

2

1
的和
解：由fx为偶函数，则b
0对
12
a
2

12



fxcos
xdx
0
2cos
xdx020


0
xcos
xdx
2


0
xcos
xdx
2

22xsi
x0


0
2xsi
x

dx
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f
2


21

2



41
2
a0
2



0
1xdx21
2

2

3
a02
所以1x
2

a
1



cos
x
1

2

3

1

41
22


cos
x
取x0，得
11


3


1

41



2
所以

1
1
2




2
12
20（本题满分11分）
A
T

T
，是三维列向量，为的转置，r