程中，△APD的三个角都在变化，因此不符合几何法“边
角边”的解题条件，我们用代数法来解．因为PCDB，M是BC的中点，所以BD＝CP＝2－m．所以D24－m．于是我们可以罗列出△APD的三边长（的平方）：AD24m2，AP2m24，PD22242m2．
①当AP＝AD时，4m2m24．解得m3（如图42）．2
②当PA＝PD时，m242242m2．
解得m4（如图43）或m4（不合题意，舍去）．3
③当DA＝DP时，4m22242m2．
解得m2（如图44）或m2（不合题意，舍去）．3
综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为3，4或2．233
f图42
图43
图44
其实①、②两种情况，可以用几何说理的方法，计算更简单：
①如图42，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．
所以PCMB1．因此PC1，m3．
CMBA2
2
2
②如图43，当PA＝PD时，P在AD的垂直平分线上．
所以DA＝2PO．因此4m2m．解得m4．3
例如图51，已知△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，
点E在AC边上，∠ADE＝∠B．设BD的长为x，如果△ADE为等腰三角形，求x的值．
图51
【解析】在△ADE中，∠ADE＝∠B大小确定，但是夹∠ADE的两条边DA、DE用含
有x的式子表示太麻烦了．
本题的已知条件∠ADE＝∠B＝∠C非常典型，由于∠ADC＝∠ADE＋∠1，∠ADC＝
∠B＋∠2，∠ADE＝∠B，所以∠1＝∠2．于是得到典型结论△DCE∽△ABD．
①如图52，当DA＝DE时，△DCE≌△ABD．因此DC＝AB，8－x＝6．解得x＝2．
②如图53，如果AD＝AE，那么∠AED＝∠ADE＝∠C．由于∠AED是△DCE的一个
外角，所以∠AED＞∠C．如果∠ADE＝∠C，那么E与C重合，此时D与B重合，x＝0．
③如图54，当EA＝ED时，∠DAE＝∠ADE＝∠B＝∠C，所以△DAC∽△ABC．因此
8x6．解得x7．
68
2
图52
图53
图54
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