Q的大小，夹∠PCQ的两条边CQ＝t，CP＝10－2t因此△PQC符合“边角边”的解题条件，我们只需要三个∠C就可以了，在∠C的边上取点P或Q画圆．
图22
图23
图24
①如图22，当CP＝CQ时，t＝10－2t，解得t10秒3
②如图22，当QP＝QC时，过点Q作QM⊥AC于M，则CM1PC5t2
在Rt△QMC中，cosQCM4CM5t，解得t25秒
5CQt
9
③如图24，当PQ＝PC时，过点P作PN⊥BC于N，则CN
f在Rt△PNC中，cosPCN4CN
1t2
，解得t80秒
5CP102t
21
这道题中，我们从“有限”的矩形中，选择我们需要的“无限”的∠PCQ，使得画图简
洁，计算简练．
例如图31，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴
上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点
P的坐标．
图31【解析】我们先用代数法解这道题．由y＝2x＋2得，A－1，0，B0，2．所以OA＝1，OB＝2．如图32，由于∠QPA＝∠ABO，所以OP∶OQ＝OB∶OA＝2∶1．设点Q的坐标为0，m，那么点P的坐标为2m，0．因此AP2＝2m＋12，AQ2＝m2＋1，PQ2＝m2＋2m2＝5m2．
①当AP＝AQ时，解方程2m＋12＝m2＋1，得m0或m4．所以符合条件的点P3
不存在．
②当PA＝PQ时，解方程2m＋12＝5m2，得m25．所以P4250．
③当QA＝QP时，解方程m2＋1＝5m2，得m1．所以P10．2
图32
图33
图34
我们再用几何法验证代数法，并进行比较．如图33，在直线PQ平移的过程中，根据
“两直线平行，同位角相等”，可知∠QPO的大小是不变的，因此△PQA也符合“边角边”
的解题条件，我们只需要三个∠P，点P在点A的右侧，暂时不画y轴（如图34）．
①如果AP＝AQ，以A为圆心、AP为半径画圆，得到点Q（如图35）．因为点Q在y
轴上，于是“奇迹”出现了，点A－10怎么可以在y轴的右侧呢？
f图35
图36
②当PA＝PQ时，以P为圆心、PA为半径画圆，得到点Q，再过点Q画y轴．此时由
2m15m，解得m25，所以P4250（如图36）．请问代数法解得的点
P4250在哪里？看看图37就明白了．
③当QA＝QP时，点Q在AP的垂直平分线上，由于A－10，所以P10（如图38）．我们可以体验到，几何法可以快速找到目标，而且计算比较简便．
图37
图38
例如图41，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，
M是BC的中点．P0m是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．当
△APD是等腰三角形时，求m的值．
图41
【解析】点P0m在运动的过r