《挑战中考数学压轴题》上海马学斌华东师大出版社
中考数学压轴题解题策略（1）
等腰三角形的存在性问题解题策略
《挑战中考数学压轴题》的作者上海马学斌
专题攻略
如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．
例题解析
例如图11，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为34，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．
图11
【解析】分三种情况讨论等腰三角形△DOP：①DO＝DP，②OD＝OP，③PO＝PD．
①当DO＝DP时，以D为圆心、DO为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P，此时点D
在OP的垂直平分线上，所以点P的坐标为60（如图12）．
②当OD＝OP＝5时，以O为圆心、OD为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P50（如
图13）．
③当PO＝PD时，画OD的垂直平分线与x轴的正半轴交于点P，设垂足为E（如图14）．
在Rt△OPE中，cosDOPOE3，OE5，所以OP25．
OP5
2
6
此时点P的坐标为250．6
图12
图13
图14
上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P，其中①
和②画好图就知道答案了，只需要对③进行计算．
代数法先设点P的坐标为x0，其中x＞0，然后罗列△DOP的三边长（的平方）．
f《挑战中考数学压轴题》上海马学斌华东师大出版社
DO2＝52，OP2＝x2，PD2＝x－3242．①当DO＝DP时，52＝x－3242．解得x＝6，或x＝0．当x＝0时既不符合点P在x轴的正半轴上，也不存在△DOP．②当OD＝OP时，52＝x2．解得x＝±5．当x＝－5时等腰三角形DOP是存在的，但是点P此时不在x轴的正半轴上（如图15）．③当PO＝PD时，x2＝x－3242．这是一个一元一次方程，有唯一解，它的几何意义是两条直线（x轴和OD的垂直平分线）有且只有一个交点．代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验．
图15例如图21，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动的过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的r