第5讲导数与函数零点、不等式证明、恒成立问题
高考定位在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含指数函数、对数函数为载体考查函数的零点方程的根、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题
真题感悟12016全国Ⅲ卷设函数fx＝l
x－x＋11讨论函数fx的单调性；2证明当x∈1，＋∞时，1xl
－1xx；3设c1，证明当x∈0，1时，1＋c－1xcx1解由fx＝l
x－x＋1x0，得f′x＝1x－1令f′x＝0，解得x＝1当0x1时，f′x0，fx单调递增当x1时，f′x0，fx单调递减因此fx在0，1上是增函数，在1，＋∞上为减函数2证明由1知，函数fx在x＝1处取得最大值f1＝0∴当x≠1时，l
xx－1故当x∈1，＋∞时，l
xx－1，l
1x1x－1，即1xl－
1xx3证明由题设c1，设gx＝1＋c－1x－cx，则g′x＝c－1－cxl
c令g′x＝0，
c－1l
l
c解得x0＝l
c当xx0时，g′x0，gx单调递增；当xx0时，g′x0，gx单调递减由2知1cl－
1cc，故0x01又g0＝g1＝0，故当0x1时，gx0
f∴当x∈0，1时，1＋c－1xcx
22017全国Ⅱ卷设函数fx＝1－x2ex
1讨论fx的单调性；
2当x≥0时，fx≤ax＋1，求a的取值范围
解1f′x＝－2xex＋1－x2ex＝1－2x－x2ex
令f′x＝0，得x2＋2x－1＝0，
解得x1＝－2－1，x2＝2－1，令f′x0，则x∈－2－1，2－1，令f′x0，则x∈－∞，－2－1∪2－1，
＋∞
∴fx在区间－∞，－2－1，2－1，＋∞上单调递减，在区间－2－1，2－1上
单调递增
2fx＝1＋x1－xex
当a≥1时，设函数hx＝1－xex，h′x＝－xex0x0，因此hx在0，＋∞上单调
递减，而h0＝1，故hx≤1，所以fx＝x＋1hx≤x＋1≤ax＋1当0a1时，设函数gx＝ex－x－1，g′x＝ex－10x0，所以gx在0，＋∞上单调递增，而g0＝0，故ex≥x＋1
当0x1时，fx1－x1＋x2，1－x1＋x2－ax－1＝x1－a－x－x2，
取x0＝
5－4a－12，则
x0∈0，1，
1－x01＋x02－ax0－1＝0，故fx0ax0＋1
当a≤0时，取x0＝52－1，则x0∈0，1，fx01－x01＋x02＝1≥ax0＋1
综上，a的取值范围是1，＋∞
考点整合
1利用导数研究函数的零点
函数的零点、方程的实根、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问
题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解
2三次函数的零点分布
三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零
的大小关系确r