立体几何大题题型一：基础题型
32015课标全国Ⅰ如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC
1证明：平面AEC⊥平面AFC；2求直线AE与直线CF所成角的余弦值．1证明如图所示，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF
在菱形ABCD中，不妨设GB＝1由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝3
由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC
又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC
在Rt△EBG中，可得BE＝
2，故
DF＝
22
在Rt△FDG中，可得FG＝26在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝22，可得EF＝322，从而EG2＋FG2＝EF2，
所以EG⊥FG
又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC
因为EG平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC
2解如图，以G为坐标原点，分别以G→B，G→C的方向为x轴，y轴正方向，G→B为单位长度，
建立空间直角坐标系Gxyz，由1可得A0，－3，0，E10，2，
F－1，0，22，C0，3，0，所以A→E＝1，3，2，C→F＝－1，－3，22
f故
cos〈A→E，C→F〉＝
→→AECF→→
＝－
AECF
33
所以直线
AE
与直线
CF
所成角的余弦值为
33
4如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，
∠ADC＝90°，AD＝2BC＝2，CD＝3，平面PAD⊥底面ABCD，若M为AD的中点，E是棱PC上的点．
1求证：平面EBM⊥平面PAD；2若∠MEC＝90°，求二面角PBME的余弦值．解：1证明：∵M是AD的中点，且AD＝2，∴MD＝1，又∵AD∥BC，BC＝1，∴四边形MBCD为平行四边形．∵∠ADC＝90°，DC∥MB，∴∠AMB＝90°，即BM⊥AD∵平面PAD⊥平面ABCD，BM平面ABCD，∴BM⊥平面PAD∴平面EBM⊥平面PAD2∵△PAD是正三角形，M为AD中点，∴PM⊥AD又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PM⊥平面ABCD如图，以M为原点，以MA，MB，MP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Mxyz，
则A1，0，0，B0，3，0，P0，0，3，C－1，3，0，P→C＝－1，3，－3，∵E在PC上，设C→E＝λC→P0λ1，∴M→E－M→C＝λM→P－M→C．∴M→E＝λ－1，3－3λ，3λ．
f∵M→EP→C＝0，∴λ＝47
∴M→E＝－37，373，473
设平面MBE的法向量为
＝x，y，z，则M→E
＝0，M→B
＝0，
即－3x＋3y＋4z＝0，3y＝0
令x＝4，∴
＝4，0，3．又平面PMB的一个法向量为
1＝1，0，0，
∴cos〈
，
1〉＝
4＝416＋3
1919
设平面PMB与平面EMB所成的角为θ，则cos
θ＝4
1919
5．如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，OA底面ABCDOA2M为OA中点．
（1）求证：直线BDr