，函数fxxtm
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（1）当t1时，若fx1，求函数fx的单调区间；（2）若关于x的不等式fxx31在区间12上有解，求m的取值范围；（3）已知曲线yfx在其图像上的两点Ax1fx1Bx2fx2x1x2处的切线分别为l1l2，若直线l1与l2平行，试探究点A与点B的关系，并证明你的结论。【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；直线的一般式方程与直线的平行关系．B12H1【答案】【解析】（1）；（2）0（3）见解析解析：（1）因为f11，所以m1，则fxx11x33x23x，
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而fx3x26x33x120恒成立，所以函数fx的单调递增区间为．（2）不等式fxx31在区间12上有解，即不等式3x23xm0在区间12上有解，即不等式m3x23x在区间12上有解，等价于m不小于3x23x在区间12上的最小值．
13因为x12时，3x23x3x206，24所以m的取值范围是0．8分
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（3）因为fxx3的对称中心为00，
f而fxxt3m可以由fxx3经平移得到，所以fxxt3m的对称中心为tm，故合情猜测，若直线l1与l2平行，则点A与点B关于点tm对称．对猜想证明如下：因为fxxtmx33tx23t2xt3m，
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所以fx3x26tx3t23xt2，所以l1，l2的斜率分别为k13x1t2，k23x2t2．又直线l1与l2平行，所以k1k2，即x1t2x2t2，因为x1x2，所以，x1tx2t，从而x1t3x2t3，所以fx1fx2x1t3mx2t3mx2t3mx2t3m2m．又由上x1x22t，所以点Ax1fx1，Bx2fx2（x1x2）关于点tm对称．故当直线l1与l2平行时，点A与点B关于点tm对称．13分11分
【思路点拨】（1）根据已知条件先求出fx，再利用导数求出其单调区间；（2）不等式
fxx31在区间12上有解，等价于m不小于3x23x在区间12上的最小值，由
13x∈12时，3x23x3x206，能求出m的取值范围．（3）因为fxx3的对称24
中心为00，而fxxt3m可以由fxr