等时，求BQ的长；（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点．
【解题思路】（1）要证△ABC∽ΔOFB，易证∠ACB∠OBF90°，由AC⊥BD和OF⊥BD，得AC∥OF，所以∠BAC∠FOB，利用“两角对应相等，两三角形相似”即可证得；（2）连接OP，由DP、DA是切线，可知∠DAB∠OPD90°，由ΔABD与△BFO的面积相等，且（1）得△ABC∽ΔOFB，可知△ABC≌ΔOFB，所以OAOB，因此OAOPADDP1，从而得证四边形OADP是正方形，所以DP∥AB，进而确定BQAD1；（3）过点Q作AM的垂
BFAB2，而OB1，所以BF，利用切线长OBADAD1定理易证：ADDP，QBQP，再利用勾股定理，确定BQ，，进而得证结论．AD
线QK，由（1）△ABC∽ΔOFB，得【答案】解：（1）证明：∵AB为直径，∴∠ACB90°，即AC⊥BC．又∵OE⊥BC，∴OEAC，∴∠BAC∠FOB．∵BN是半圆的切线，故∠BCA∠OBF90°．∴△ACB∽△OBF．（2）由△ACB∽△OBF，得∠OFB∠DBA，∠DAB∠OBF90°，∴△ABD∽△BFO，当△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO．∴ADBO
1AB1．2
用心爱心专心4
f∵DA⊥AB，∴DA为⊙O的切线．连接OP，∵DP是半圆O的切线，∴DADP1，∴DAAOOPDP1，∴四边形ADPO为正方形．∴DPAB，∴四边形DABQ为矩形．∴BQAD1．（3）由（2）知，△ABD∽△BFO，∴
BFAB2，∴BF．OBADAD
∵DPQ是半圆O的切线，∴ADDP，QBQP．过点Q作AM的垂线QK，垂足为K，在Rt△DQK中，DQ2QK2DK2，
2∴ADBQADBQ2，22
∴BQ
1，∴BF2BQ，∴Q为BF的中点．AD
【点拨】本题考查了相似三角形、切线长定理、勾股定理等知识，综合性较强．在解题时要注意利用已知条件，构建模型，第三问是动点移动问题，解决时要把动点转化为静点来分析．难度较大．4．（2011广东省，21，9分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，ABACEF9，∠BAC∠DEF90，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF或它们的延长线分别交BC或它的延长线于G，H点，如图2A（D）FA（D）FB题21图1C（E）BGCH
E题21图2
（1）问：始终与△AGC相似的三角形有△HAB及△HGA；（2）设CGx，BHy，求y关于x的函数关系式（只要求根据图2的情形说明理由）；（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形【解题思路】第（1）小题可以利用角的关系来证明，也可以考虑先证明DE⊥BC还可
用心
爱心
专心
5
f以考虑用三角形的中位线来证明．第（2）小题关r