关组的线性组合。
六．16分已知二次型fx1x2x34x123x223x322x2x3。（1）写出二次型f的矩阵A；
（2）用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵；
（3）判别二次型的正定性
七．1江浦学生做12分问a为何值时，线性方程组
x15x2x3x41

x12x22x13x2
x3
3x42x4
a2
x19x23x37x47
无解，有解？有解时求其通解。
2．浦江学生做12分判别非齐次线性方程组
x15x2x3x41
3x1x128xx22xx333xx44
31
x19x23x37x47
是否有解，若有解，求其通解。
八1江浦学生做6分设A是3阶矩阵，123是3维向量，若向量
组123线性无关，且A112223，A221223，A321223
f_
（1）求矩阵A的特征值；（2）设B2AE，其中E是3阶单位矩阵，A是A的伴随矩阵，求B的行列式B的值。
2浦江学生做6分假如123是某齐次线性方程组AX0的
一个基础解系问2123213是不是齐次线性方程组AX0基础解
系为什么？
南京工业大学线性代数课程考试试卷（A）解答
江浦、浦江20052006学年第1学期
一、1、EA，2、，3、2，4、k1，5、4612
二、1、D，2、A，3、C，4、D，5、B，
三．第23
列加到第1列：

123
1

2
0100
0
D0
220
0
4分

0
00
1
1
f_
10
122
200
00
1
1
1
12
四12分解：A2EXA
XA2E1A
211301


2
2
11
1
0

111014
522


4
3
2

223
4分
4分3分
33分
3
五．12分解：
1200612006
12
3
4
5



10
01
21
11
1



0
30
10
10
01
2

1
6分
1311900000
秩为3；
（8）分
极大线性无关组为134；2213561234。
（10）分
（12）
分六16分
400
解（1）
A


0
3
1

4分
013
（2）AE422，得特征值2，4，4。
7分
f_


0
对于λ2，得特征向量

1

单位特征向量为p1
1

011
22

000x10
当2

3

4时，解方程

0
1
1

x2



0

011x30
000011

0
1
1



0
0
0


011000
10
此方程组的基础解系为
0



1
这是一组正交向量组
01

将特征向量单位化得
p2
1


0


p3
0

0
12
12
10
分
01取正交变换XPY102
120

01
1
22



y1y2y3


。则
f
2y12
4y22
4y32
12
（3）因为特征值都大于0，所以二次型是正定二次型
16分
七江浦学生．12解：
1511115111

A
b


0
7
2
2
a

1


0
7
2
2
a

1

6分
0724400003a
01448800000
f_
（r