第二讲函数的极限
一内容提要1函数在一点处的定义
limfxA00
xx0
使得x0xx0，有fxA
右极限
limfxA00
xx0
使得x0xx0，有fxA
左极限
limfxA00
xx0
使得x0x0x，有fxA
注1同数列极限一样，函数极限中的同样具有双重性．
注2的存在性（以xx0为例）：在数列的“N”定义中，我们曾经提到过，N的存在性重在“存在”，而对于如何去找以及是否能找到最小的N无关紧要；对也是如此，
只要对给定的0，能找到某一个，能使0xx0时，有fxA即可．
注3讨论函数在某点的极限，重在局部，即在此点的某个空心邻域内研究fx是否无限
趋近于A．
注4limfxAlimfxlimfxA．
xx0
xx0
xx0
注５
lim
xx0
fx

A
x




x




x


x0且x


x0

，有
lim

fx


A，称为
归结原则——海涅（Hei
e）定理．它是沟通数列极限与函数极限之间的桥梁．说明在一定条件下函数极限与数列极限可以相互转化．因此，利用定理必要性的逆否命题，可以方便地验证某些函数极限不存在；而利用定理的充分性，又可以借用数列极限的现成结果来论证函数极限问题．（会叙述，证明，特别充分性的证明．）
注6
lim
xx0
fx

A
0
0
0，x0xx0，有fxA0．
2函数在无穷处的极限
设fx在a上有定义，则
limfxA0Xa使得xxX，有fxA．
x
limfxA0Xa使得xxX，有fxA．
x
limfxA0Xa使得xxX，有fxA．
x
注１limfxAlimfxlimfxA．
x
x
x
f注２
lim
x
f
x

A

x
x

x




，有
lim



f
x


A．
３函数的有界
设fx在a上有定义，若存在一常数M0，使得xa，有fxM，
则称fx在a上有界．
４无穷大量
limfxG00
xx0
使得x0xx0，有fxG．
limfxG0X0使得xxX，有fxG．
x
类似地，可定义limfx，limfx，limfx，limfx等．
xx0
xx0
xx0
xx0
注
若limxx0
fx，且
0和C0，使得x0
xx0
，有
fx
C0，
则limfxgx．xx0
特别的，若limfx，limgxA0，则limfxgx．
xx0
xx0
xx0
５无穷小量
若limxx0
f
x

0，则称
f
x当x

x0时为无穷量．
注1可将xx0改为其它逼近过程．
注2limfxAfxAx，其中limx0．由于有这种可以互逆的表
xx0
xx0
达关系，所以极限方法与无穷小分析方法在许多场合中可以相互取代．
注3
lim
xx0
fx

0
，
g

x
r