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x
0
的某空心邻域内有界,则
lim
xx0
f
xgx
0.
注4limfx0,且当x足够大时,gx有界,则limfxgx0.
x
xx0
注5在某一极限过程中,无穷大量的倒数是无穷小量,非零的无穷小量的倒数是无穷大量.
6函数极限的性质
以下以xx0为例,其他极限过程类似.
(1)limfxA,则极限A唯一.xx0
(2)limxx0
fx
A,则M
0,使得x0
xx0
,有
fx
M.
(3)limxx0
fx
A,limgxB,且AB,则xx0
0,使得x0
xx0


fxgx
f注这条性质称为函数的“局部保号性”.在理论分析论证及判定函数的性态中应用极普遍.
(4)limxx0
fx
A,limgxB,且xx0
0当0
xx0

时,
fxgx则
AB.
(5)limfxA,limgxB,则
xx0
xx0
limfxgxAB
xx0
limfxgxAB
xx0
要求:①进行运算的项数为有限项;②极限为有限数.7夹逼定理
limfxA(B0)xx0gxB
若0使得x0xx0,有fxgxhx,且
limfxlimhxA,则limgxA.
xx0
xx0
xx0
8Cauchy收敛准则
函数fx在x0的空心邻域内极限存在00使得xx,当
0xx0,0xx0时,有fxfx.
9无穷小量的比较
设limx0,limx0,且limxk,则
xx0
xx0
xx0x
(1)当k0时,称x为x的高阶无穷小量,记作xox;
(2)当k时,称x为x的低阶无穷小量;
(3)当k0且k时,称x为x的同阶无穷小量.
特别的,当k1时,称x和x为等价的无穷小量,记作x~x.
注1上述定义中,自变量的变化过程xx0也可用x,x,x,
xx0,xx0之一代替.注2当x0时,常见的等价无穷小有:si
x~x,ta
x~x,1cosx~x2,ex1~x,l
1x~x,1xm1~mx
2
注3在用等价无穷小替换计算极限时,一般都要强调限定对“乘积因式”的等价替换.因为:
若x~x(P),则
flimfxlimfxxlimfxPxPxxPx

limgxxlimgxxxlimgxx(P为某逼近过程).
P
P
xP
而对于非乘积因式,这样的替换可能会导致错误的结果.
注4在某一极限过程中,若x为无穷小量,则在此极限过程,有
10两个重要极限
(1)limsi
x1;x0x
xox~x.
1
(2)lim1xxe.x0
二、典型例题
例用定义证明下列极限:
(1)limx1
xxx2
11

12

(2)lim
x
1.
xx21x
2
f例limfxA,证明:xx0
(1)若A0,则有lim11;xx0f2xA2
(2)lim3fx3A.xx0
f例设fx是ab上的严格严格r
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