在
x
0
的某空心邻域内有界,则
lim
xx0
f
xgx
0.
注4limfx0,且当x足够大时,gx有界,则limfxgx0.
x
xx0
注5在某一极限过程中,无穷大量的倒数是无穷小量,非零的无穷小量的倒数是无穷大量.
6函数极限的性质
以下以xx0为例,其他极限过程类似.
(1)limfxA,则极限A唯一.xx0
(2)limxx0
fx
A,则M
0,使得x0
xx0
,有
fx
M.
(3)limxx0
fx
A,limgxB,且AB,则xx0
0,使得x0
xx0
,
有
fxgx
f注这条性质称为函数的“局部保号性”.在理论分析论证及判定函数的性态中应用极普遍.
(4)limxx0
fx
A,limgxB,且xx0
0当0
xx0
时,
fxgx则
AB.
(5)limfxA,limgxB,则
xx0
xx0
limfxgxAB
xx0
limfxgxAB
xx0
要求:①进行运算的项数为有限项;②极限为有限数.7夹逼定理
limfxA(B0)xx0gxB
若0使得x0xx0,有fxgxhx,且
limfxlimhxA,则limgxA.
xx0
xx0
xx0
8Cauchy收敛准则
函数fx在x0的空心邻域内极限存在00使得xx,当
0xx0,0xx0时,有fxfx.
9无穷小量的比较
设limx0,limx0,且limxk,则
xx0
xx0
xx0x
(1)当k0时,称x为x的高阶无穷小量,记作xox;
(2)当k时,称x为x的低阶无穷小量;
(3)当k0且k时,称x为x的同阶无穷小量.
特别的,当k1时,称x和x为等价的无穷小量,记作x~x.
注1上述定义中,自变量的变化过程xx0也可用x,x,x,
xx0,xx0之一代替.注2当x0时,常见的等价无穷小有:si
x~x,ta
x~x,1cosx~x2,ex1~x,l
1x~x,1xm1~mx
2
注3在用等价无穷小替换计算极限时,一般都要强调限定对“乘积因式”的等价替换.因为:
若x~x(P),则
flimfxlimfxxlimfxPxPxxPx
或
limgxxlimgxxxlimgxx(P为某逼近过程).
P
P
xP
而对于非乘积因式,这样的替换可能会导致错误的结果.
注4在某一极限过程中,若x为无穷小量,则在此极限过程,有
10两个重要极限
(1)limsi
x1;x0x
xox~x.
1
(2)lim1xxe.x0
二、典型例题
例用定义证明下列极限:
(1)limx1
xxx2
11
12
;
(2)lim
x
1.
xx21x
2
f例limfxA,证明:xx0
(1)若A0,则有lim11;xx0f2xA2
(2)lim3fx3A.xx0
f例设fx是ab上的严格严格r