第四讲数列求和
【套路秘籍】千里之行始于足下
1分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；2裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和；3错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和；4倒序相加：如等差数列前
项和公式的推导方法．5并项求和法：一个数列的前
项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
【修炼套路】为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始
考向一裂项相消【例1】已知数列a
的首项a1＝1，S
是数列a
的前
项和，且满足2S
＋1＝
＋3a
1求数列a
的通项公式；2设数列b
满足b
＝a
a1
＋1，记数列b
的前
项和为T
，求证：T
3【答案】（1）a
＝13
＋2（2）见解析【解析】1解2S
＋1＝
＋3a
，①当
≥2时，2S
－1＋1＝
＋2a
－1，②①－②得，
＋1a
＝
＋2a
－1，所以
＋a
2＝
a＋
－11
≥2，又∵1＋a12＝13，故
＋a
2是首项为13的常数列所以a
＝13
＋22证明由1知，
b
＝a
a1
＋1＝（
＋2）9（
＋3）＝9
＋12－
＋13∴T
＝b1＋b2＋b3＋…＋b
＝931－14＋14－15＋…＋
＋12－
＋13＝913－
＋13＝3－
＋933
f【套路总结】解题思路：第一步定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；第二步巧裂项：即根据通项公式特征准确裂项，将其表示为两项之差的形式；第三步消项求和：即把握消项的规律，准确求和使用特征：1分式：分母可以写成两个因式相乘
2检验：检验是否可以裂项
分子
分母中两个因式：a
大因式小因式
判断
a
是不是为常数，如果是则可以裂项，裂成
原式

a1小因式

1）大因式
常见形式：1
1＋1＝1
－
＋11；
22
－112
＋1＝122
1－1－2
1＋1；
3
1
＝
＋1－
；

＋
＋1
4
＋11
＋2＝12
1＋1－
＋11
＋2
【举一反三】
1已知各项都是正数的数列a
的前
项和为S
，且2S
＝a2
＋a
，数列b
满足b1＝12，2b
＋1＝b
＋ba

1求数列a
，b
的通项公式；
2设数列c
满足c
＝bS
＋
2，求c1＋c2＋…＋c
的和．
【答案】（1）a
＝

b
＝2

1
1
（2）2－
＋12
＋1
【解析】1由题意知2S
＝a2
＋a
，
①
2S
＋1＝a2
＋1＋a
＋1，
②
②－①得2a
＋1＝a2
＋1－a2
＋a
＋1－a
，
即a
＋1＋a
a
＋1－a
－1＝0
因为a
是正数数列，
所以a
＋1－a
－1＝0，即a
＋1－a
＝1，
所以a
是公差为1的等差r