xaxb
⑶
Pxfxxa2b
fxOax1x2xi1ξixix
1bx
§32定积分一．主要内容（一）重要概念与性质1定积分的定义：
∫
b
a
fxdxlim∑fξixi
x→0i1
→∞


ξi∈xi1xi
定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。定积分的几何意义：是介于x轴，曲线yfx直线xaxb之间各部分面积的代数和。x轴上方的面积取正号，yx轴下方的面积取负号。a0bx
f设：yfxx∈ab
若：fx满足下列条件之一
2
定积分存在定理：
1ofx连续，x∈ab连续，
上可积。则：fx在ab上可积。
若积分存在，则积分值与以下因素无关：
3ofx在ab上单调有界
2ofx在ab上有有限个第一类间断点
1与积分变量形式无关，即∫fxdx∫ftdt与积分变量形式无关，
o
b
b
2o与在ab上的划分无关，即ab可以任意划分上的划分无关，3o与点ξi的选取无关，即ξi可以在xi1xi上任意选取。的选取无关，上任意选取。
a
a


有关。积分值仅与被积函数fx与区间ab有关。
3牛顿莱布尼兹公式：
上的任意一个原函数：若Fx是连续函数fx在ab上的任意一个原函数：则：fxdxFxbFbFaa∫
a
牛顿莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。4原函数存在定理：
b
f连续，若fx连续，x∈ab则：x∫ftdt
axx
x∈ab
上的一个原函数，x是fx在ab上的一个原函数，且：′x∫ftdt′fx
a
5定积分的性质：
上可积，设fxgx在ab上可积，则：
1
2
34
o
o
∫
b
a
kfxdxk∫fxdx
a
ab
b
o
∫
a
b
a
fxdx∫fxdx
ba
∫fx±gxdx∫
b
fxdx±∫gxdx
a
b
o
∫
a
a
fxdx0
5
o
∫
ba
b
a
fx∫fxdx∫fxdxacb
ac
c
b
6
y
o
∫
1dxba
yygx1fx
fx
0
a
c
bx
0
a
bx0
a
bx
f7ofx≤gxa≤x≤b则∫fxdx≤∫gxdx
aabb
8o估值定理：估值定理：mba≤∫fxdx≤Mba
ab
上的最小值和最大值。其中mM分别为fx在ab上的最小值和最大值。
yMm0abx0aξbxyfxfx
若fx连续x∈ab则：必存在一点ξ∈ab使∫fxdxfξba
a
（二）定积分的计算：1换元积分
9o积分中值定理：积分中值定理：
b
连续，设fx连续，x∈ab，xt
连续，r