若′t连续，t∈αβ
且当t从α变到β时，t单调地从a变到bαaβb
f则：fxdx∫ft′tdt∫
b
β
a
α
2
分部积分
∫
∫
b
a
udvuva∫vdu
ba
3广义积分
b
∞
∞
4
fxdx∫
定积分的导数公式
0
∞
fxdx∫
∞
0
fxdx
1（∫ftdt′xfx
oa
x
2∫
o
x
a
ftdt′xfx′x
3∫
o
2x
1x
′′ftdt′xf2x2xf1x1x
三定积分的应用1平面图形的面积
1o由yfx0
与x轴所围成的图形的面积y
xa
fx
xbab
s∫fxdx
a
b
2o由y1fx
y2gxfg
f与xaxb所围成的图形的面积s∫fxgxdx
ba
3o由x1φy
d
x2yφ
与ycyd所围成的图形的面积s∫φyydy
c
4o求平面图形面积的步骤：
①②③2求出曲线的交点，画出草图；确定积分变量，由交点确定积分上下限；应用公式写出积分式，并进行计算。旋转体的体积
1o曲线yfx0与xaxb及x轴所围图形绕x
轴旋转所得旋转体的体积：
Vxπ∫f2xdx
a
0abx
b
2o由曲线xφy0与ycyd及y轴所围成图形绕y
轴旋转所得旋转体的体积：
Vyπ∫φ2ydy
c
d
第四章多元函数微积分初步§41偏导数与全微分一主要内容：
f㈠3
多元函数的概念二元函数的定义：
zfxyxy∈D
定义域：定义域：Df
㈡14二元函数的几何意义：二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线）二元函数的极限和连续：极限定义：设zfxy满足条件：
1o在点x0y0的某个领域内有定义。的某个领域内有定义。
可除外）（点x0y0可除外）
2olimfxyA
x→x0y→y0
极限存在，则称zfxy在x0y0极限存在，且等于A。
2连续定义：设zfxy满足条件：
1o在点x0y0的某个领域内有定义。的某个领域内有定义。
2olimfxyfx0y0
x→x0y→y0
处连续。则称zfxy在x0y0处连续。
㈢偏导数：
定义fxy在x0y0点
ffx0xy0fx0y0fx′x0y0limx→0x
fx0y0yfx0y0fy′x0y0limy→0y
fx′x0y0fy′x0y0分别为函数fxy在x0y0的偏导数。处对xy的偏导数。
zfxy在D内任意点xy处的偏导数记为：处的偏导数记为：
fxyzfx′xyz′xxx
fxyzr