倍长中线巧解题
中线是三角形中的重要线段之一,在利用中线解决几何问题时,常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所
谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来
解决问题的方法.下面举例说明.
一、证明线段不等
A
例1如图1,在△ABC中,AD为BC边上的中线.求证:ABAC>2AD
BD
C
变式1:如图,点D、E三等分△ABC的BC边,求证:ABACADAE
AP
E
B
DG
C
H
E图1
A
E
B
D
C
M
N
二、证明线段相等例2如图2,在△ABC中,AB>AC,E为BC边的中点,AD为∠BAC的平分线,过E作AD的平行线,交AB于F,交CA的延长线于G.求证:BFCG.
G
AF231
B
ED
C
H图2
变式2:如图,D为线段AB的中点,在AB上取异于D的点C,分别以AC、BC为斜边在AB同侧作等腰直
角三角形ACE与BCF,连结DE、DF、EF,求证:△DEF为等腰直角三角形
F
E
12
A
CD
B
G
1
f三、求线段的长例3如图3,△ABC中,∠A90°,D为斜边BC的中点,E,F分别为AB,AC上的点,且DE⊥DF,若BE3,CF4,试求EF的长.(超前班选作)
AEA
F
B
D
1C
2
G图3四、证明线段倍分例4如图4,CB,CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线,且ACAB.求证:CE2CD.
C
23
A
D1B
E
F
图4
五、证明两直线垂直
例5:如图,△ABC中,D为BC中点,AB5,AD6,AC13。求证:AB⊥AD。
C
D
E
AB
变式:如图5,分别以△ABC的边AB,AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH,M为FH的中点.求证:MA⊥BC.
NF
1MH
E
A
3
2
G
BDC
2
f“截长补短法”在几何证明问题中的运用例1已知,如图11,在四边形ABCD中,BC>AB,ADDC,BD平分∠ABC
求证:∠BAD∠BCD180°
B
AD
图11
C
例2如图21,AD∥BC,点E在线段AB上,∠ADE∠CDE,∠DCE∠ECB求证:CDADBC
DA
E
例3已知,如图31,∠1∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于点D,ABBC2BD求证:∠BAP∠BCP180°
A
CB
图21
NP
例4已知:如图41,在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2求证:ABACCD
12B
图31
DCA
12
练习:
1、已知,如右图:Rt△ABC中,∠C90°,ACBC,AD平分∠BAC求证:ACCDAB
B
D
C
图41
A
C
D
B
3
f2、已知:如右图,AC‖BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,CD过E点,求证:ABACBD.
C
A
E
D
B
3已知:如下左图,D是EF的中点BECF求证:△ABC是等腰三角形。4已知:如下中图,AD平分∠BACAB⊥BD∠BAC2∠C求证AC2AB5已知:如下右图,∠BED∠CADD是BC的中点求证BEAC
AA
E
AE
B
B
C
D
F
D
CB
D
C
4
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