倍长中线巧解题
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所
谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来
解决问题的方法．下面举例说明．
一、证明线段不等
A
例1如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线．求证：ABAC＞2AD
BD
C
变式1：如图，点D、E三等分△ABC的BC边，求证：ABACADAE
AP
E
B
DG
C
H
E图1
A
E
B
D
C
M
N
二、证明线段相等例2如图2，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BFCG．
G
AF231
B
ED
C
H图2
变式2：如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC、BC为斜边在AB同侧作等腰直
角三角形ACE与BCF，连结DE、DF、EF，求证：△DEF为等腰直角三角形
F
E
12
A
CD
B
G
1
f三、求线段的长例3如图3，△ABC中，∠A90°，D为斜边BC的中点，E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF，若BE3，CF4，试求EF的长．（超前班选作）
AEＡ
F
B
D
1C
2
G图3四、证明线段倍分例4如图4，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且ACAB．求证：CE2CD．
C
23
A
D1B
E
F
图4
五、证明两直线垂直
例5：如图，△ABC中，D为BC中点，AB5，AD6，AC13。求证：AB⊥AD。
C
D
E
AB
变式：如图5，分别以△ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH的中点．求证：MA⊥BC．
NF
1MH
E
A
3
2
G
BDC
2
f“截长补短法”在几何证明问题中的运用例1已知，如图11，在四边形ABCD中，BC＞AB，ADDC，BD平分∠ABC
求证：∠BAD∠BCD180°
B
AD
图11
C
例2如图21，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE∠CDE，∠DCE∠ECB求证：CDADBC
DA
E
例3已知，如图31，∠1∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，ABBC2BD求证：∠BAP∠BCP180°
A
CB
图21
NP
例4已知：如图41，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2求证：ABACCD
12B
图31
DCA
12
练习：
1、已知，如右图：Rt△ABC中，∠C90°，ACBC，AD平分∠BAC求证：ACCDAB
B
D
C
图41
A
C
D
B
3
f2、已知：如右图，AC‖BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过E点，求证：ABACBD．
C
A
E
D
B
3已知：如下左图，D是EF的中点BECF求证：△ABC是等腰三角形。4已知：如下中图，AD平分∠BACAB⊥BD∠BAC2∠C求证AC2AB5已知：如下右图，∠BED∠CADD是BC的中点求证BEAC
AA
E
AE
B
B
C
D
F
D
CB
D
C
4
fr