2005级电路与系统矩阵分析作业3－1已知Aaij是
阶正定Hermite矩阵，在
维线性空间C中向量


αx1x2Lx
，βy1y2Ly
定义内积αβαAβ。（1）证明在上述定义下，C是酉空

间；（2）写出C中的Ca
chy－Schwarz不等式。1证明：βα＝βAα
kαβαβγαβAγαAγβAγαγβγαααAαH，因为A为正定H矩阵，所以αα≥0，当且仅当α0时，α0α
HHHHHHHH
αAβ
αAβ
，kαβ＝kαAβ
由上可知
c


是酉空间。毕。
H
（2）解：αβαAβ
∑∑xiaijyj
ji
i



ααα
∑∑xiaijxj，βββ
j


∑∑ya
iji



ij
yj
由CauchySchwarz不等式有：
∑∑xiaijyj≤
ji



∑∑xiaijxj
ji



∑∑ya
iji



ij
yj
0833－16，试求酉矩阵U使得UAU是上三角矩阵3－3（1）已知A＝－20－5102
解：由λEAλ1
3
得λ－1是A的特征值，当λ＝－1时，可得λEA＝0
00于是ε1＝000
010（0，1，0）是A的特征向量。选择与ε1正交，并且互相也正交两个向量组成酉阵：U1100001613830则U1AU138取A1，λEA1λ12λ－1是A1的特征值。25025
T
当λ＝－1时，可得λEA1＝
1200
，于是，α
1
＝（
25
，
15
）T是A的特征向量，选择与α
1
182111055，AU1213正交的向量组成酉阵U2U2121225120121555T且试证：ETiSETiS13－9若S，分别是实对称矩阵和反实对称矩阵，detETiS≠0，2
是酉矩阵，。证明：令BETiSCETiS1，AETiSETiSBC，AABCA

CBAETiS1ETiSETiSETiS1，又S，T分别是实对称矩阵和反实1对称矩阵，即有SSTT，则有，CBAETiSETiSETiSETiS1ETiS1ETiSETiSETiS1，因为ETiSETiS
1
fETiSETiS显然有AAE，同理可得AAE，即AAAAE，即证。
312设A、B均是正规矩阵，试证：A与B酉相似的充要r