2005级电路与系统矩阵分析作业3-1已知Aaij是
阶正定Hermite矩阵,在
维线性空间C中向量
αx1x2Lx
,βy1y2Ly
定义内积αβαAβ。(1)证明在上述定义下,C是酉空
间;(2)写出C中的Ca
chy-Schwarz不等式。1证明:βα=βAα
kαβαβγαβAγαAγβAγαγβγαααAαH,因为A为正定H矩阵,所以αα≥0,当且仅当α0时,α0α
HHHHHHHH
αAβ
αAβ
,kαβ=kαAβ
由上可知
c
是酉空间。毕。
H
(2)解:αβαAβ
∑∑xiaijyj
ji
i
ααα
∑∑xiaijxj,βββ
j
∑∑ya
iji
ij
yj
由CauchySchwarz不等式有:
∑∑xiaijyj≤
ji
∑∑xiaijxj
ji
∑∑ya
iji
ij
yj
0833-16,试求酉矩阵U使得UAU是上三角矩阵3-3(1)已知A=-20-5102
解:由λEAλ1
3
得λ-1是A的特征值,当λ=-1时,可得λEA=0
00于是ε1=000
010(0,1,0)是A的特征向量。选择与ε1正交,并且互相也正交两个向量组成酉阵:U1100001613830则U1AU138取A1,λEA1λ12λ-1是A1的特征值。25025
T
当λ=-1时,可得λEA1=
1200
,于是,α
1
=(
25
,
15
)T是A的特征向量,选择与α
1
182111055,AU1213正交的向量组成酉阵U2U2121225120121555T且试证:ETiSETiS13-9若S,分别是实对称矩阵和反实对称矩阵,detETiS≠0,2
是酉矩阵,。证明:令BETiSCETiS1,AETiSETiSBC,AABCA
CBAETiS1ETiSETiSETiS1,又S,T分别是实对称矩阵和反实1对称矩阵,即有SSTT,则有,CBAETiSETiSETiSETiS1ETiS1ETiSETiSETiS1,因为ETiSETiS
1
fETiSETiS显然有AAE,同理可得AAE,即AAAAE,即证。
312设A、B均是正规矩阵,试证:A与B酉相似的充要r