线性规划常见题型及解法
由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围
x2
例1、
若
x、y
满足约束条件

y
2
，则zx2y的取值范围是（）
xy2
A、26B、25C、36D、（35
y
By2
2
A
O2
x
xy2x2
解：如图，作出可行域，作直线l：x2y＝0，将l向右上方平移，过点A（20）时，有最小
值2，过点B（22）时，有最大值6，故选A
y
二、求可行域的面积
2xy60
例
2、不等式组

x

y

3

0
表示的平面区域的面积为
（
）
y2
A、4B、1C、5D、无穷大
x＋y3
0
By
MA
2
OCx2xy60
解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC5的面积即
可，选B
三、求可行域中整点个数
例3、满足x＋y≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）
A、9个B、10个C、13个D、14个
xy2
解
：
x＋
y≤
2
等
价
于
xyx
2y2
xy2
x0y0x0y0x0y0x0y0
y
O
x
作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13
个，选D
四、求线性目标函数中参数的取值范围
xy5
例
4、已知
x、y
满
足
以
下
约
束
条
件

x

y

5

0，
使
zxaya0取得
x3
最小值的最优解有无数个，则a的值为（）
A、－3B、3C、－1D、1
yxy5
O
xy50x3x
解：如图，作出可行域，作直线l：xay＝0，要使目标函数zxaya0取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线xy＝5重合，故a1，选D
1
f五、求非线性目标函数的最值
2xy20
例
5、已知
x、y
满足以下约束条件

x

2
y

4

0
，则zx2y2的最大值和最小值分别是（
）
3xy30
A、13，1
B、13，2C、13，45
D、13，255
解：如图，作出可行域x2y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（23）到原点的距离的平方，即AO213，最小值
为原点到直线2x＋y－20的距离的平方，即为4，选C5
六、求约束r